Google
Câu hỏi: Cho vectơ \(\overrightarrow u \) tùy ý khác \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left({\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) \) \(+ {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = 1\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
Giả sử \(\overrightarrow u = \left( {x; y; z} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {x \over {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \) \(\Rightarrow {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{{x^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\)
Tương tự: \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) = {{{y^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) và \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\).
Vậy
\({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left({\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) \) \(+ {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1\)
Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
Giả sử \(\overrightarrow u = \left( {x; y; z} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {x \over {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \) \(\Rightarrow {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{{x^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\)
Tương tự: \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) = {{{y^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) và \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\).
Vậy
\({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left({\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) \) \(+ {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1\)