Bài 1 trang 80 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho các vectơ: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i  - 2\overrightarrow j ;\) \(\overrightarrow v  = 3\overrightarrow i  + 5\left( {\overrightarrow j  - \overrightarrow k } \right) ;\) \(\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow i  - \overrightarrow k  + 3\overrightarrow j \)

Câu a​

Tìm toạ độ của các vectơ đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng lý thuyết:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow u = \left({a; b; c} \right)
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j \\= 1.\overrightarrow i + \left({ - 2} \right)\overrightarrow j + 0\overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow u = \left({1; - 2; 0} \right)\\
\overrightarrow v = 3\overrightarrow i + 5\left({\overrightarrow j - \overrightarrow k } \right) \\= 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 5\overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow v = \left({3; 5; - 5} \right)\\
\overrightarrow k = 2\overrightarrow i - \overrightarrow k + 3\overrightarrow j \\= 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow k = \left({2; 3; - 1} \right)
\end{array}\)

Câu b​

Tìm côsin của các góc \(\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right) ; \left({\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right) ; \left({\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right)\).
Phương pháp giải:
Cô sin góc hợp bởi hai véc tơ:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u = \left({{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow v = \left({{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\\
\Rightarrow \cos \left({\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\\
= \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow i  = \left( {1; 0; 0} \right),\overrightarrow j \left({0; 1; 0} \right),\) \(\overrightarrow k  = \left( {0; 0; 1} \right)\)
\(\eqalign{
& \cos \left({\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} \cr & = \frac{{3.1 + 5.0 - 5.0}}{{\sqrt {9 + 25 + 25} .\sqrt 1 }}= {3 \over {\sqrt {59} }} \cr 
& \cos \left({\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow j } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow j } \right|}} \cr & = \frac{{3.0 + 5.1 - 5.0}}{{\sqrt {9 + 25 + 25} .\sqrt 1 }}= {5 \over {\sqrt {59} }} \cr 
& \cos \left({\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow k } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}} \cr & = \frac{{3.0 + 5.0 - 5.1}}{{\sqrt {9 + 25 + 25} .\sqrt 1 }}= {{ - 5} \over {\sqrt {59} }} \cr} \)

Câu c​

Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v , \overrightarrow u .\overrightarrow {\rm{w}} , \overrightarrow v .\overrightarrow {\rm{w}} \).
Phương pháp giải:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u = \left({{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow v = \left({{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.3 - 2.5 + 0\left({ - 5} \right) = - 7 \cr 
& \overrightarrow u .\overrightarrow w = 1.2 - 2.3 + 0\left({ - 1} \right) = - 4 \cr 
& \overrightarrow v .\overrightarrow w = 3.2 + 5.3 + (-5).(-1) = 26 \cr} \)