Bài 12 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N  là điểm sao cho \(\overrightarrow {SN}  = {1 \over 3}\overrightarrow {SB} \).

Câu a​

Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Phương pháp giải:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho A trùng O, tia AC trùng tia Ox, AS trùng Oz.
Tìm tọa độ các điểm và tính toán.
Lời giải chi tiết:

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, B nằm trong góc xOy.
Ta có: \(A = \left( {0; 0; 0} \right), C = \left({b; 0; 0} \right),\) \(B = \left( {b; a; 0} \right), S = \left({0; 0; h} \right)\) .
\(M\left( {{b \over 2}; 0; 0} \right),\overrightarrow {SB}  = \left({b; a; - h} \right)\)
Gọi \(N\left( {x; y; z} \right)\) thì \(\overrightarrow {SN}  = \left( {x; y; z - h} \right)\).
\(\overrightarrow {SN} = {1 \over 3}\overrightarrow {SB} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {b \over 3} \hfill \cr 
y = {a \over 3} \hfill \cr 
z - h = {{ - h} \over 3} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {b \over 3} \hfill \cr 
y = {a \over 3} \hfill \cr 
z = {{2h} \over 3} \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow N\left( {{b \over 3};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right)\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \left({{b \over 3} - {b \over 2};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right) \cr &= \left({ - {b \over 6};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right) \cr 
& MN = \sqrt {{{{b^2}} \over {36}} + {{{a^2}} \over 9} + {{4{h^2}} \over 9}} \cr &= {1 \over 6}\sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} \cr} \)

Câu b​

Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.
Phương pháp giải:
\(MN \bot SB \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SB}  = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(MN \bot SB \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SB}  = 0\) \(\Leftrightarrow  - {{{b^2}} \over 6} + {{{a^2}} \over 3} + {{ - 2{h^2}} \over 3} = 0 \) \(\Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} - {b^2}\)