Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{O}xyz$, cho hai điểm $A\left( 1;-1;-3 \right),B\left( 0;1;-1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z-3=0$. Đường thẳng $\Delta $ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$, cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+5}{-2},{{d}_{2}}:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$ và tạo với $AB$ một góc lớn nhất có phương trình là
A. $\dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z-1}{2}$.
B. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+3}{2}$.
C. $\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$.
D. $\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{2}$.
A. $\dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z-1}{2}$.
B. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+3}{2}$.
C. $\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$.
D. $\dfrac{x}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{2}$.
Ta có $A={{d}_{1}}\cap \left( P \right),B={{d}_{2}}\cap \left( P \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left( 2;2;-1 \right)$ và $\overrightarrow{AB}\left( -1;2;2 \right)$
Gọi $M={{d}_{1}}\cap \Delta \Rightarrow M\left( 3+2t;t;-5-2t \right);N={{d}_{2}}\cap \Delta \Rightarrow N\left( h;1+2h;-1-h \right)$
Suy ra $\Rightarrow \overrightarrow{MN}\left( h-3-2t;2h+1-t;-h+4+2t \right)$
Do $\Delta $ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 7h-8t-8=0\ \ \ \ \left( 1 \right)$
Ta lại có $\Delta $ tạo với $AB$ một góc lớn nhất $AB\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}=0\Leftrightarrow h+4t+9=0\ \ \ \ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $h=-2;t=\dfrac{-11}{4}$
Vậy $\Delta $ đi qua $N\left( -2;-3;1 \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MN}=\left( 2;-1;2 \right)$ có phương trình
$\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left( 2;2;-1 \right)$ và $\overrightarrow{AB}\left( -1;2;2 \right)$
Gọi $M={{d}_{1}}\cap \Delta \Rightarrow M\left( 3+2t;t;-5-2t \right);N={{d}_{2}}\cap \Delta \Rightarrow N\left( h;1+2h;-1-h \right)$
Suy ra $\Rightarrow \overrightarrow{MN}\left( h-3-2t;2h+1-t;-h+4+2t \right)$
Do $\Delta $ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 7h-8t-8=0\ \ \ \ \left( 1 \right)$
Ta lại có $\Delta $ tạo với $AB$ một góc lớn nhất $AB\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}=0\Leftrightarrow h+4t+9=0\ \ \ \ \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $h=-2;t=\dfrac{-11}{4}$
Vậy $\Delta $ đi qua $N\left( -2;-3;1 \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MN}=\left( 2;-1;2 \right)$ có phương trình
$\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$.
Đáp án C.
