Bài 14 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu :

Câu a​

Đi qua ba điểm A(0; 8 ; 0), B(4; 6 ; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz);
Phương pháp giải:
- Gọi tâm I(0; b; c).
- Lập hệ phương trình ẩn b, c với chú ý IA=IB=IC.
- Giải hệ tìm b, c suy ra phương trình.
Lời giải chi tiết:
Tâm I của mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên \(I\left( {0; b; c} \right)\). Ta tìm b và c để IA = IB = IC. Ta có:
\(\left\{ \matrix{
I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr 
I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left({8 - b} \right)^2} + {c^2} = {4^2} + {\left({6 - b} \right)^2} + {\left({2 - c} \right)^2} \hfill \cr 
{\left({8 - b} \right)^2} + {c^2} = {\left({12 - b} \right)^2} + {\left({4 - c} \right)^2} \hfill \cr} \right. \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
64 - 16b = 16 + 36 - 12b + 4 - 4c\\
64 - 16b = 144 - 24b + 16 - 8c
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4b + 4c = - 8\\
8b + 8c = 96
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 7\\
c = 5
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy tâm \(I\left( {0; 7; 5} \right)\) bán kính
R = IA =\(\sqrt {0 + 1 + 25}  = \sqrt {26} \).
Mặt cầu có phương trình \({x^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left({z - 5} \right)^2} = 26\).

Câu b​

Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox;
Lời giải chi tiết:
Vì tâm của mặt cầu nằm trên tia Ox và mặt cầu tiếp xúc với mp(Oyz) nên điểm tiếp xúc phải là O, do đó bán kính mặt cầu là R = IO = 2 và \(I\left( {2; 0; 0} \right)\).
Mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)

Câu c​

Có tâm I(1; 2 ; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz).
Lời giải chi tiết:
Vì mặt cầu có tâm \(I\left( {1; 2; 3} \right)\) và tiếp xúc với mp(Oyz), vậy R = d(I,(Oyz))=1.
Mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - 2} \right)^2} + {\left({z - 3} \right)^2} = 1\)