Google
Câu hỏi: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) \({d_1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\)
b) \({d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_4}:x + 3y - 5 = 0\)
c) \({d_5}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\)
a) \({d_1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\)
b) \({d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_4}:x + 3y - 5 = 0\)
c) \({d_5}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\)
Phương pháp giải
Bước 1: Đưa các phương trình về dạng PTTQ
Bước 2: Giải hệ 2 PT đường thẳng và xét số nghiệm của hệ để tìm vị trí tương đối của các đường thẳng
* Với ý b) có thể xét 2 VTPT của d3 và d4. Nếu 2 vectơ cùng phương thì lấy 1 điểm trên đường thẳng này và xét xem có thuộc đường thẳng kia hay không. Trong trường hợp không thuộc thì d3 // d4 và ngược lại thì d3 trùng d4.
* Với ý c) ta cũng có thể xét 2 VTCP của d5 và d6. Nếu 2 vectơ cùng phương thì lấy 1 điểm trên đường thẳng này và xét xem có thuộc đường thẳng kia hay không. Trong trường hợp không thuộc thì d5 // d6 và ngược lại thì d5 trùng d6.
Lời giải chi tiết
a) \({d_1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\)
Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 5 = 0\\2x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = - 5\\2x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Hệ trên có một nghiệm duy nhất. Vậy d1 và d2 cắt nhau.
b) \({d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_4}:x + 3y - 5 = 0\)
d3 đi qua điểm (-1; 3) và có VTCP là \(\overrightarrow u = ( - 3;1)\) \( \Rightarrow \) d3 có một VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;3)\)
\( \Rightarrow \) d3 và d4 có cùng VTPT nên d3 // d4 hoặc d3 và d4 trùng nhau
Thay tọa độ điểm (-1; 3) vào PT d4 ta có: -1 + 3.3 – 5 = 3 ≠ 0 \( \Rightarrow ( - 1;3) \notin {d_4}\)
Vậy d3 // d4
c) \({d_5}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\) và \({d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t'\\y = 1 - t'\end{array} \right.\)
d5 đi qua A(2; -1), có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 2;1)\)
d6 đi qua B(-2; 1), có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = (2; - 1)\)
Ta thấy \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương nên d5 // d6 hoặc d5 và d6 trùng nhau
Thay tọa độ điểm A vào PT d6 ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = - 2 + 2t'\\ - 1 = 1 - t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 2\\t' = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t' = 2 \Rightarrow A \in {d_6}\)
Vậy d5 và d6 trùng nhau
Bước 1: Đưa các phương trình về dạng PTTQ
Bước 2: Giải hệ 2 PT đường thẳng và xét số nghiệm của hệ để tìm vị trí tương đối của các đường thẳng
* Với ý b) có thể xét 2 VTPT của d3 và d4. Nếu 2 vectơ cùng phương thì lấy 1 điểm trên đường thẳng này và xét xem có thuộc đường thẳng kia hay không. Trong trường hợp không thuộc thì d3 // d4 và ngược lại thì d3 trùng d4.
* Với ý c) ta cũng có thể xét 2 VTCP của d5 và d6. Nếu 2 vectơ cùng phương thì lấy 1 điểm trên đường thẳng này và xét xem có thuộc đường thẳng kia hay không. Trong trường hợp không thuộc thì d5 // d6 và ngược lại thì d5 trùng d6.
Lời giải chi tiết
a) \({d_1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\)
Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 5 = 0\\2x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = - 5\\2x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Hệ trên có một nghiệm duy nhất. Vậy d1 và d2 cắt nhau.
b) \({d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 3t\\y = 3 + t\end{array} \right.\) và \({d_4}:x + 3y - 5 = 0\)
d3 đi qua điểm (-1; 3) và có VTCP là \(\overrightarrow u = ( - 3;1)\) \( \Rightarrow \) d3 có một VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;3)\)
\( \Rightarrow \) d3 và d4 có cùng VTPT nên d3 // d4 hoặc d3 và d4 trùng nhau
Thay tọa độ điểm (-1; 3) vào PT d4 ta có: -1 + 3.3 – 5 = 3 ≠ 0 \( \Rightarrow ( - 1;3) \notin {d_4}\)
Vậy d3 // d4
c) \({d_5}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\) và \({d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t'\\y = 1 - t'\end{array} \right.\)
d5 đi qua A(2; -1), có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 2;1)\)
d6 đi qua B(-2; 1), có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = (2; - 1)\)
Ta thấy \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương nên d5 // d6 hoặc d5 và d6 trùng nhau
Thay tọa độ điểm A vào PT d6 ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 = - 2 + 2t'\\ - 1 = 1 - t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 2\\t' = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t' = 2 \Rightarrow A \in {d_6}\)
Vậy d5 và d6 trùng nhau