Google
Câu hỏi: Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2; 0), B(3 ; -3; 1), C(5; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \).
Phương pháp giải
ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 6; 1; - 1} \right);\overrightarrow {BC} = \left({2; 3; 1} \right)\).
Vì \({{ - 6} \over 2} \ne {1 \over 3} \ne {{ - 1} \over 1}\) nên \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Giả sử \(D\left( {x; y; z} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {x + 3; y + 2; z} \right),\overrightarrow {BC} = \left({2; 3; 1} \right)\)
ABCD là hình bình hành
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 3 = 2\\
y + 2 = 3\\
z = 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1\\
z = 1
\end{array} \right.\)
Vậy \(D\left( { - 1; 1; 1} \right)\) .
Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {8; 2; 2} \right) ;\) \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 4; 4; 0} \right)\)
Do đó:
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = {{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \over {AC. BD}} \) \(= {{ - 32 + 8} \over {\sqrt {72} .\sqrt {32} }} = - {1 \over 2} \) \(\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = 120^0\).
Chú ý:
Có thể tìm D theo cách khác như sau:
Giả sử \(D\left( {x; y; z} \right)\) thì \(\overrightarrow {BD} = \left( {x - 3; y + 3; z - 1} \right)\)
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 3 = - 6 + 2 \hfill \cr
y + 3 = 1 + 3 \hfill \cr
z - 1 = - 1 + 1 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\)
ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {BA} = \left( { - 6; 1; - 1} \right);\overrightarrow {BC} = \left({2; 3; 1} \right)\).
Vì \({{ - 6} \over 2} \ne {1 \over 3} \ne {{ - 1} \over 1}\) nên \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Giả sử \(D\left( {x; y; z} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {x + 3; y + 2; z} \right),\overrightarrow {BC} = \left({2; 3; 1} \right)\)
ABCD là hình bình hành
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 3 = 2\\
y + 2 = 3\\
z = 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1\\
z = 1
\end{array} \right.\)
Vậy \(D\left( { - 1; 1; 1} \right)\) .
Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {8; 2; 2} \right) ;\) \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 4; 4; 0} \right)\)
Do đó:
\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = {{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \over {AC. BD}} \) \(= {{ - 32 + 8} \over {\sqrt {72} .\sqrt {32} }} = - {1 \over 2} \) \(\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = 120^0\).
Chú ý:
Có thể tìm D theo cách khác như sau:
Giả sử \(D\left( {x; y; z} \right)\) thì \(\overrightarrow {BD} = \left( {x - 3; y + 3; z - 1} \right)\)
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 3 = - 6 + 2 \hfill \cr
y + 3 = 1 + 3 \hfill \cr
z - 1 = - 1 + 1 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\)