Bài 3 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mỗi trường hợp sau:

Câu a​

\(\overrightarrow u  = \left( {1; 1 ; 1} \right),\overrightarrow v  = \left({2; 1 ; - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow v } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}}\) \( = \frac{{1.2 + 1.1 + 1.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} .\sqrt {4 + 1 + 1} }}\) \(= {2 \over {\sqrt 3 .\sqrt 6 }} = {{\sqrt 2 } \over 3}\)

Câu b​

\(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j ; \overrightarrow v  =  - 2\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {3; 4; 0} \right) ; \overrightarrow v  = \left({0; - 2; 3} \right) \)
\(\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow v } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|}}\) \( = \frac{{3.0 + 4.\left( { - 2} \right) + 0.\left({ - 3} \right)}}{{\sqrt {9 + 16 + 0} .\sqrt {0 + 4 + 9} }} \) \(= \frac{{ - 8}}{{5\sqrt {13} }}\) \(= {{ - 8\sqrt {13} } \over {65}}\)