Google
Câu hỏi: Giải mục 2 trang 67, 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u , \overrightarrow v \): \(\overrightarrow u . \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\)
Nhận xét: \(\overrightarrow u . \overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy: \(\overrightarrow u . \overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:
+) \(\overrightarrow u . \overrightarrow v > 0\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) < {90^o}\)
+) \(\overrightarrow u . \overrightarrow v < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) \le {180^o}\)
Vậy \(\overrightarrow u . \overrightarrow v > 0\) nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u . \overrightarrow v < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) \le {180^o}.\)
Phương pháp giải:
+) \(\overrightarrow u . \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\)
+) \({\overrightarrow u ^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\) với mọi vectơ \(\overrightarrow u \)
Lời giải chi tiết:
\({\left( {\overrightarrow u . \overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)} \right]^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow v } \right|^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) = 1\\\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) = {0^o}\\\left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) = {180^o}\end{array} \right.\)
Hay hai vectơ \(\overrightarrow u , \overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow u , \overrightarrow v \) cùng phương thì \({\left( {\overrightarrow u . \overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)
Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng: \(\overrightarrow u . \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
Mà \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \cos \widehat {BAC}\)
Lại có: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)(suy ra từ định lí cosin)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = c.b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\end{array}\)
Câu hỏi 1
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u , \overrightarrow v \) là một số dương? Là một số âm?Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u , \overrightarrow v \): \(\overrightarrow u . \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\)
Nhận xét: \(\overrightarrow u . \overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy: \(\overrightarrow u . \overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:
+) \(\overrightarrow u . \overrightarrow v > 0\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) < {90^o}\)
+) \(\overrightarrow u . \overrightarrow v < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) \le {180^o}\)
Vậy \(\overrightarrow u . \overrightarrow v > 0\) nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u . \overrightarrow v < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) \le {180^o}.\)
Câu hỏi 2
Khi nào thì \({\left( {\overrightarrow u . \overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)?Phương pháp giải:
+) \(\overrightarrow u . \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\)
+) \({\overrightarrow u ^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\) với mọi vectơ \(\overrightarrow u \)
Lời giải chi tiết:
\({\left( {\overrightarrow u . \overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)} \right]^2} = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}.{\left| {\overrightarrow v } \right|^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left[ {\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) = 1\\\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) = {0^o}\\\left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right) = {180^o}\end{array} \right.\)
Hay hai vectơ \(\overrightarrow u , \overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow u , \overrightarrow v \) cùng phương thì \({\left( {\overrightarrow u . \overrightarrow v } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow u } \right)^2}.{\left( {\overrightarrow v } \right)^2}\)
Luyện tập 2
Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) theo a,b,c.Phương pháp giải:
+) Tích vô hướng: \(\overrightarrow u . \overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|. \left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)
Mà \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \cos \widehat {BAC}\)
Lại có: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)(suy ra từ định lí cosin)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = c.b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\end{array}\)