Google
Câu hỏi: Cho ba vectơ \(\overrightarrow a , \overrightarrow b , \overrightarrow u \) với \(|\overrightarrow a | = |\overrightarrow b | = 1\) và \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \). Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i = \overrightarrow a , \overrightarrow j = \overrightarrow b .\) Chứng minh rằng:
a) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u . \overrightarrow a ; \overrightarrow u . \overrightarrow b )\)
b) \(\overrightarrow u = (\overrightarrow u . \overrightarrow a ).\overrightarrow a + ( \overrightarrow u . \overrightarrow b ).\overrightarrow b \)
a) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u . \overrightarrow a ; \overrightarrow u . \overrightarrow b )\)
b) \(\overrightarrow u = (\overrightarrow u . \overrightarrow a ).\overrightarrow a + ( \overrightarrow u . \overrightarrow b ).\overrightarrow b \)
Phương pháp giải
a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ \(\overrightarrow u \)
+) \(\overrightarrow u . \overrightarrow a = |\overrightarrow u| . |\overrightarrow a|. \cos (\overrightarrow u . \overrightarrow a) \)
b) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ \((x ;y)\) trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ; \overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u = x . \overrightarrow i + y. \overrightarrow j \)
Lời giải chi tiết
a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ; \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b ; \overrightarrow {OC} = \overrightarrow u \)
Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i = \overrightarrow a , \overrightarrow j = \overrightarrow b \), lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.
Gọi tọa độ của \(\overrightarrow u \)là \(\left( {x;y} \right)\). Đặt \(\alpha = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow a } \right)\).
+) Nếu \({0^o} < \alpha < {90^o}\): \(x = OM = |\overrightarrow u |.\cos \alpha = |\overrightarrow u |.\cos \alpha . |\overrightarrow a | = \overrightarrow u . \overrightarrow a ;\)
+) Nếu \({90^o} < \alpha < {180^o}\): \(x = - OM = - |\overrightarrow u |.\cos ({180^o} - \alpha ) = |\overrightarrow u |.\cos \alpha = \overrightarrow u . \overrightarrow a ;\)
Như vậy ta luôn có: \(x = \overrightarrow u .\overrightarrow a \)
Chứng minh tương tự, ta có: \(y = \overrightarrow u .\overrightarrow b \)
Vậy vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u . \overrightarrow a ; \overrightarrow u . \overrightarrow b )\)
b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị \(\overrightarrow i = \overrightarrow a , \overrightarrow j = \overrightarrow b \), vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u . \overrightarrow a ; \overrightarrow u . \overrightarrow b )\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u = (\overrightarrow u . \overrightarrow a ).\overrightarrow i + ( \overrightarrow u . \overrightarrow b ).\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \overrightarrow u = (\overrightarrow u . \overrightarrow a ).\overrightarrow a + ( \overrightarrow u . \overrightarrow b ).\overrightarrow b \end{array}\)
a) Trên hệ trục Oxy mới, xác định hoành độ, tung độ của vectơ \(\overrightarrow u \)
+) \(\overrightarrow u . \overrightarrow a = |\overrightarrow u| . |\overrightarrow a|. \cos (\overrightarrow u . \overrightarrow a) \)
b) Vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ \((x ;y)\) trong hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ; \overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u = x . \overrightarrow i + y. \overrightarrow j \)
Lời giải chi tiết
a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ; \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b ; \overrightarrow {OC} = \overrightarrow u \)
Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i = \overrightarrow a , \overrightarrow j = \overrightarrow b \), lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.
Gọi tọa độ của \(\overrightarrow u \)là \(\left( {x;y} \right)\). Đặt \(\alpha = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow a } \right)\).
+) Nếu \({0^o} < \alpha < {90^o}\): \(x = OM = |\overrightarrow u |.\cos \alpha = |\overrightarrow u |.\cos \alpha . |\overrightarrow a | = \overrightarrow u . \overrightarrow a ;\)
+) Nếu \({90^o} < \alpha < {180^o}\): \(x = - OM = - |\overrightarrow u |.\cos ({180^o} - \alpha ) = |\overrightarrow u |.\cos \alpha = \overrightarrow u . \overrightarrow a ;\)
Như vậy ta luôn có: \(x = \overrightarrow u .\overrightarrow a \)
Chứng minh tương tự, ta có: \(y = \overrightarrow u .\overrightarrow b \)
Vậy vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u . \overrightarrow a ; \overrightarrow u . \overrightarrow b )\)
b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị \(\overrightarrow i = \overrightarrow a , \overrightarrow j = \overrightarrow b \), vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u . \overrightarrow a ; \overrightarrow u . \overrightarrow b )\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u = (\overrightarrow u . \overrightarrow a ).\overrightarrow i + ( \overrightarrow u . \overrightarrow b ).\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \overrightarrow u = (\overrightarrow u . \overrightarrow a ).\overrightarrow a + ( \overrightarrow u . \overrightarrow b ).\overrightarrow b \end{array}\)