Bài 2.33 trang 102 SBT hình học 10

Câu hỏi: Gọi \({m_a},{m_b},{m_c}\) là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Câu a​

Tính \({m_a}\), biết rằng a = 26, b = 18, c = 16
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trung tuyến. Xem chi tiết tại đây.
Giải chi tiết:
\(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)\(= \dfrac{{{{18}^2} + {{16}^2}}}{2} - \dfrac{{{{26}^2}}}{4}\) \(= \dfrac{{324 + 256}}{2} - \dfrac{{676}}{4} = \dfrac{{484}}{4}\)\(\Rightarrow {m_a} = \dfrac{{22}}{2} = 11\)

Câu b​

Chứng minh rằng: \(4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trung tuyến. Xem chi tiết tại đây.
Giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\\m_b^2 = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}\\m_c^2 = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m_a^2 = 2({b^2} + {c^2}) - {a^2}\\4m_b^2 = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2}\\4m_c^2 = 2({a^2} + {b^2}) - {c^2}\end{array} \right.\)
Ta suy ra:
$\begin{array}{l}
4\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right) = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2} + 2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) - {b^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}\\
= 2{b^2} + 2{c^2} - {a^2} + 2{a^2} + 2{c^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}\\
= 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2}\\
= 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)
\end{array}$