Google
Câu hỏi: Tam giác ABC có \(a = 2\sqrt 3, b = 2\sqrt 2, c = \sqrt 6 - \sqrt 2 \). Tính các góc A, B và các độ dài \({h_a}\), R, r của tam giác đó.
Phương pháp giải
Sử dụng định lý cô sin trong tam giác và các công thức diện tích tam giác, bán kính ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Xem chi tiết tại đây.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)\(= \dfrac{{8 + 6 + 2 - 2\sqrt {12} - 12}}{{4\sqrt 2 (\sqrt 6 - \sqrt 2)}}\) \(= \dfrac{{4 - 4\sqrt 3 }}{{8\sqrt 3 - 8}}\) \(= \dfrac{{4(1 - \sqrt 3)}}{{8(\sqrt 3 - 1)}} = - \dfrac{1}{2}\)
Do đó \(\widehat A = {120^0}\).
\(\cos B = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2. Ca}}\)\(= \dfrac{{6 + 2 - 2\sqrt {12} + 12 - 8}}{{2.(\sqrt 6 - \sqrt 2). 2\sqrt 3 }}\) \(= \dfrac{{12 - 2\sqrt {12} }}{{4\sqrt {18} - 4\sqrt 6 }}\) \(= \dfrac{{4(3 - \sqrt 3)}}{{4\sqrt 2 (3 - \sqrt 3)}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(\widehat B = {45^0}\).
Ta có: \({h_a} = \dfrac{{2S}}{a} = \dfrac{{ac\sin B}}{a} = c\sin B\)\(= \left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 3 - 1\)
\(\dfrac{b}{{\sin B}} = 2R\)\(\Rightarrow R = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\)
\(S = pr\)\(\Rightarrow r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}ac\sin B}}{{\dfrac{1}{2}(a + b + c)}} = \dfrac{{ac\sin B}}{{a + b + c}}\) \(= \dfrac{{2\sqrt 3 \left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + \sqrt 6 - \sqrt 2 }}\)\(= \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 + 1}}\)
Sử dụng định lý cô sin trong tam giác và các công thức diện tích tam giác, bán kính ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Xem chi tiết tại đây.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)\(= \dfrac{{8 + 6 + 2 - 2\sqrt {12} - 12}}{{4\sqrt 2 (\sqrt 6 - \sqrt 2)}}\) \(= \dfrac{{4 - 4\sqrt 3 }}{{8\sqrt 3 - 8}}\) \(= \dfrac{{4(1 - \sqrt 3)}}{{8(\sqrt 3 - 1)}} = - \dfrac{1}{2}\)
Do đó \(\widehat A = {120^0}\).
\(\cos B = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2. Ca}}\)\(= \dfrac{{6 + 2 - 2\sqrt {12} + 12 - 8}}{{2.(\sqrt 6 - \sqrt 2). 2\sqrt 3 }}\) \(= \dfrac{{12 - 2\sqrt {12} }}{{4\sqrt {18} - 4\sqrt 6 }}\) \(= \dfrac{{4(3 - \sqrt 3)}}{{4\sqrt 2 (3 - \sqrt 3)}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(\widehat B = {45^0}\).
Ta có: \({h_a} = \dfrac{{2S}}{a} = \dfrac{{ac\sin B}}{a} = c\sin B\)\(= \left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 3 - 1\)
\(\dfrac{b}{{\sin B}} = 2R\)\(\Rightarrow R = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\)
\(S = pr\)\(\Rightarrow r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}ac\sin B}}{{\dfrac{1}{2}(a + b + c)}} = \dfrac{{ac\sin B}}{{a + b + c}}\) \(= \dfrac{{2\sqrt 3 \left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + \sqrt 6 - \sqrt 2 }}\)\(= \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 + 1}}\)