Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : \(\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\) và điểm \(A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\) . Gọi d là đưởng thẳng đi qua A có hệ số góc là m. Xác định m để d cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho A là trung điểm của MN.
Lời giải chi tiết
Phương trình đường thẳng d có dạng
\(y - \frac{1}{2} = m(x + 1)\)
\(\Leftrightarrow y = m(x + 1) + \frac{1}{2}.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (E) là :
\(\frac{{{x^2}}}{4} + {\left( {mx + m + \frac{1}{2}} \right)^2} = 1\) \(\Leftrightarrow {x^2} + 4{\left[ {mx + \left( {m + \frac{1}{2}} \right)} \right]^2} = 4\)
\(\Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 1} \right){x^2} + 4\left[ {\left({2m + 1} \right)m} \right]x \) \(+ 4{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} - 4 = 0.\)
A là trung điểm của MN \(\Leftrightarrow \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = {x_A} \Leftrightarrow \frac{{ - 4(2{m^2} + m)}}{{2(4{m^2} + 1)}} = - 1\)
\(\Leftrightarrow 4{m^2} + 2m = 4{m^2} + 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\)
Phương trình đường thẳng d có dạng
\(y - \frac{1}{2} = m(x + 1)\)
\(\Leftrightarrow y = m(x + 1) + \frac{1}{2}.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (E) là :
\(\frac{{{x^2}}}{4} + {\left( {mx + m + \frac{1}{2}} \right)^2} = 1\) \(\Leftrightarrow {x^2} + 4{\left[ {mx + \left( {m + \frac{1}{2}} \right)} \right]^2} = 4\)
\(\Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 1} \right){x^2} + 4\left[ {\left({2m + 1} \right)m} \right]x \) \(+ 4{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} - 4 = 0.\)
A là trung điểm của MN \(\Leftrightarrow \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = {x_A} \Leftrightarrow \frac{{ - 4(2{m^2} + m)}}{{2(4{m^2} + 1)}} = - 1\)
\(\Leftrightarrow 4{m^2} + 2m = 4{m^2} + 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\)