Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có \({x_A} = 2\) , điểm C và trung điểm K của AD cùng thuộc trục Oy, tâm I thuộc trục Ox, AD = 2AB. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết rằng K có tung độ âm.
Lời giải chi tiết
Đặt A(2; a); K(0; k); C(0; c); I(1; 0) là tọa độ các điểm đã cho ta có
\(\frac{{a + c}}{2} = 0 \Rightarrow c = - a.\)
\(AD = 2AB \Rightarrow AK = 2KI.\)
Ta có : \(\overrightarrow {AK} = ( - 2; k - 1), \overrightarrow {IK} = (- 1; k)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {IK} = o\\\left| {\overrightarrow {AK} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {IK} } \right|\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + k(k - a) = 0\\{\overrightarrow {AK} ^2} = 4{\overrightarrow {IK} ^2}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k - a = - \frac{k}{2} (1)\\4 + {(k - a)^2} = 4(1 + {k^2}) (2)\end{array} \right.\)
Thay (1) vào (2) ta được
\(4 + \frac{4}{{{k^2}}} = 4\left( {1 + {k^2}} \right)\) \(\Leftrightarrow 4{k^2} + 4 = 4{k^2} + 4{k^4}\) \(\Leftrightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow k = - 1 (k < 0).\)
Suy ra a = -3.
Vậy A(2 ; -3), C(0; 3) và K(0 ; -1).
Ta có \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AK} \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 2 = 2.(0 - 2)\\{y_D} + 3 = 2.(- 1 + 3)\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2\\{y_D} = 1.\end{array} \right.\) Vậy D(-2; 1)
Ta có \(\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DI} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + 2 = 2.(1 + 2)\\{y_B} - 1 = 2.(0 - 1)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = - 1.\end{array} \right.\)
Vậy B(4 ; -1).
Đặt A(2; a); K(0; k); C(0; c); I(1; 0) là tọa độ các điểm đã cho ta có
\(\frac{{a + c}}{2} = 0 \Rightarrow c = - a.\)
\(AD = 2AB \Rightarrow AK = 2KI.\)
Ta có : \(\overrightarrow {AK} = ( - 2; k - 1), \overrightarrow {IK} = (- 1; k)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {IK} = o\\\left| {\overrightarrow {AK} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {IK} } \right|\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + k(k - a) = 0\\{\overrightarrow {AK} ^2} = 4{\overrightarrow {IK} ^2}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k - a = - \frac{k}{2} (1)\\4 + {(k - a)^2} = 4(1 + {k^2}) (2)\end{array} \right.\)
Thay (1) vào (2) ta được
\(4 + \frac{4}{{{k^2}}} = 4\left( {1 + {k^2}} \right)\) \(\Leftrightarrow 4{k^2} + 4 = 4{k^2} + 4{k^4}\) \(\Leftrightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow k = - 1 (k < 0).\)
Suy ra a = -3.
Vậy A(2 ; -3), C(0; 3) và K(0 ; -1).
Ta có \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AK} \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 2 = 2.(0 - 2)\\{y_D} + 3 = 2.(- 1 + 3)\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2\\{y_D} = 1.\end{array} \right.\) Vậy D(-2; 1)
Ta có \(\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DI} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + 2 = 2.(1 + 2)\\{y_B} - 1 = 2.(0 - 1)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = - 1.\end{array} \right.\)
Vậy B(4 ; -1).