Bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12

Câu hỏi:

Câu a​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
;
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*) Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính đạo hàm.
+) Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm có hoặc đạo hàm không xác định.
+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*) Tìm cực trị:
*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có. ( )
*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với trục tung:
+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Lời giải chi tiết:

1) TXĐ:
2) Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
Ta có:
Trên khoảng nên hàm số số đồng biến, trên khoảng và có nên hàm số nghịch biến.
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại Hàm số đạt cực tiểu tại
+) Giới hạn vô cực:

+) Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:
Ta có:
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm và
Ta có: ; . Với ta có . Vậy đồ thị hàm số nhận điểm làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ suy ra .

Câu b​

;
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số
Tập xác định:
Sự biến thiên:
Đạo hàm: .

Hàm số đồng biến trên các khoảng và và nghịch biến trên
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại cđ ​= .
Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu
Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm , cắt trục tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: hoặc nên tọa độ các giao điểm là và .
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số:

Câu c​

;
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số
Tập xác định:
Sự biến thiên:
Đạo hàm:
Vậy hàm số luôn đồng biến trên và không có cực trị.
Giới hạn:

Bảng biến thiên :

Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm , cắt trục tại điểm .
Tâm đối xứng:

Suy ra tọa độ tâm đối xứng là:
Đồ thị hàm số đi qua các điểm và

Câu d​

Lời giải chi tiết:
Xét hàm số
Tập xác định:
Sự biến thiên:
Đạo hàm: .
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên .
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Tính đối xứng: .
Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm , đồ thị cắt trục tại điểm