Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), \(K\) là trung điểm của \(BI\).
Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AI} \);
b) \(\overrightarrow {AK} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \).
Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AI} \);
b) \(\overrightarrow {AK} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \).
Phương pháp giải
Sử dụng công thức trung điểm \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với \(I\) là trung điểm của \(AB\).
Lời giải chi tiết
A) Vì \(K\) là trung điểm của \(BI\) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AK} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right)\)(1)
b) Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)} \right]\)\(= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \) \(= \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)
Vậy \(\overrightarrow {AK} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \).
Sử dụng công thức trung điểm \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với \(I\) là trung điểm của \(AB\).
Lời giải chi tiết
A) Vì \(K\) là trung điểm của \(BI\) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AK} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right)\)(1)
b) Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)} \right]\)\(= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \) \(= \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)
Vậy \(\overrightarrow {AK} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} \).