Google
Câu hỏi: Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N, P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD \) và \(DA\). Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \);
b) \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MQ} \)
a) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \);
b) \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MQ} \)
Phương pháp giải
a) Xen điểm tính hai véc tơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {QP} \).
b) Chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành và suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
A) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BN} \)\(= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QD} + \overrightarrow {DP} \)\(= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \).
b) Tứ giác \(MNPQ \) có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN{\rm{//}}QP\\MN = QP\end{array} \right.\)
Suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.
Suy ra \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MQ} \).
a) Xen điểm tính hai véc tơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {QP} \).
b) Chứng minh tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành và suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
A) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BN} \)\(= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QD} + \overrightarrow {DP} \)\(= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \).
b) Tứ giác \(MNPQ \) có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN{\rm{//}}QP\\MN = QP\end{array} \right.\)
Suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.
Suy ra \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MQ} \).