Google
Câu hỏi: Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).
a) Với điểm \(M \) tùy ý, hãy chứng minh \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \);
b) Chứng minh rằng: \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right|\)
a) Với điểm \(M \) tùy ý, hãy chứng minh \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \);
b) Chứng minh rằng: \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right|\)
Phương pháp giải
a) Sử dụng công thức trung điểm \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với \(I\) là trung điểm của \(AB\).
b) Tính tổng hiệu các véc tơ và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
A) Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \); \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI} \)
Vậy \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = AC\)
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \)\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right| = DB\)
Vì hai đường chéo của hình chữ nhật dài bằng nhau nên \(AC = BD\) hay \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right|\).
a) Sử dụng công thức trung điểm \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với \(I\) là trung điểm của \(AB\).
b) Tính tổng hiệu các véc tơ và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
A) Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \); \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI} \)
Vậy \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = AC\)
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \)\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right| = DB\)
Vì hai đường chéo của hình chữ nhật dài bằng nhau nên \(AC = BD\) hay \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right|\).