Google
Câu hỏi: Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.
Phương pháp giải
Dựng hình, sử dụng các quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \(G \) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(MPR\) và \(NQS\). Ta có:
$\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{G P}+\overrightarrow{G R}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}+\overrightarrow{G E}+\overrightarrow{G F})=\overrightarrow{0}$
$\overline{G^{\prime} N}+\overline{G^{\prime} Q}+\overline{G^{\prime}} S=\frac{1}{2}\left(\overline{G^{\prime} B}+\overline{G^{\prime} C}+\overline{G^{\prime} D}+\overline{G^{\prime} E}+\overline{G^{\prime} F}+\overline{G^{\prime} A}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}+\overrightarrow{G E}+\overrightarrow{G F}=\overrightarrow{G^{\prime} B}+\overrightarrow{G^{\prime} C}+\overline{G^{\prime} D}+\overrightarrow{G^{\prime} E}+\overline{G^{\prime} F}+\overrightarrow{G^{\prime} A}$
$\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{G A}-\overline{G^{\prime} A}\right)+\left(\overrightarrow{G B}-\overline{G^{\prime} B}\right)+\left(\overrightarrow{G C}-\overline{G^{\prime} C}\right)+\left(\overline{G D}-\overline{G^{\prime} D}\right)+\left(\overrightarrow{G E}-\overline{G^{\prime} E}\right)+\left(\overrightarrow{G F}-\overline{G^{\prime} F}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{A G^{\prime}}\right)+\left(\overrightarrow{G B}+\overline{B G^{\prime}}\right)+\left(\overline{G C}+\overline{C G^{\prime}}\right)+\left(\overline{G D}+\overline{D G^{\prime}}\right)+\left(\overrightarrow{G E}+\overline{E G^{\prime}}\right)+\left(\overrightarrow{G F}+\overrightarrow{F G^{\prime}}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overline{G G}^{\prime}+\overrightarrow{G G^{\prime}}+\overrightarrow{G G^{\prime}}+\overrightarrow{G G^{\prime}}+\overrightarrow{G G^{\prime}}+\overrightarrow{G G^{\prime}}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 6 \overline{G G^{\prime}}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{G G^{\prime}}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow G \equiv G^{\prime}$
Dựng hình, sử dụng các quy tắc trọng tâm và quy tắc trung điểm suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \(G \) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(MPR\) và \(NQS\). Ta có:
$\overrightarrow{G M}+\overrightarrow{G P}+\overrightarrow{G R}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}+\overrightarrow{G E}+\overrightarrow{G F})=\overrightarrow{0}$
$\overline{G^{\prime} N}+\overline{G^{\prime} Q}+\overline{G^{\prime}} S=\frac{1}{2}\left(\overline{G^{\prime} B}+\overline{G^{\prime} C}+\overline{G^{\prime} D}+\overline{G^{\prime} E}+\overline{G^{\prime} F}+\overline{G^{\prime} A}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}+\overrightarrow{G E}+\overrightarrow{G F}=\overrightarrow{G^{\prime} B}+\overrightarrow{G^{\prime} C}+\overline{G^{\prime} D}+\overrightarrow{G^{\prime} E}+\overline{G^{\prime} F}+\overrightarrow{G^{\prime} A}$
$\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{G A}-\overline{G^{\prime} A}\right)+\left(\overrightarrow{G B}-\overline{G^{\prime} B}\right)+\left(\overrightarrow{G C}-\overline{G^{\prime} C}\right)+\left(\overline{G D}-\overline{G^{\prime} D}\right)+\left(\overrightarrow{G E}-\overline{G^{\prime} E}\right)+\left(\overrightarrow{G F}-\overline{G^{\prime} F}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{A G^{\prime}}\right)+\left(\overrightarrow{G B}+\overline{B G^{\prime}}\right)+\left(\overline{G C}+\overline{C G^{\prime}}\right)+\left(\overline{G D}+\overline{D G^{\prime}}\right)+\left(\overrightarrow{G E}+\overline{E G^{\prime}}\right)+\left(\overrightarrow{G F}+\overrightarrow{F G^{\prime}}\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overline{G G}^{\prime}+\overrightarrow{G G^{\prime}}+\overrightarrow{G G^{\prime}}+\overrightarrow{G G^{\prime}}+\overrightarrow{G G^{\prime}}+\overrightarrow{G G^{\prime}}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow 6 \overline{G G^{\prime}}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{G G^{\prime}}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow G \equiv G^{\prime}$