Google
Câu hỏi: Cho các điểm \({\rm{A'}}( - 4; 1), B'(2; 4)\) và \(C'(2; - 2)\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC, CA\) và \(AB\) của tam giác \(ABC\).
a) Tính tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\);
b) Chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.
a) Tính tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\);
b) Chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.
Phương pháp giải
a) Sử dụng tính chất của hai véc tơ bằng nhau \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\end{array} \right.\).
b) Tím tọa độ trọng tâm hai tam giác và so sánh, sử dụng công thức trọng tâm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
A) Ta có: \(\overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {A'B'} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 2 = 6\\{y_A} + 2 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8\\{y_A} = 1\end{array} \right.\) suy ra \(A\left( {8; 1} \right)\).
\(\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {C'B'} \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - {x_B} = 0\\1 - {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = - 4\\{y_B} = - 5\end{array} \right.\) suy ra \(B\left( { - 4; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {C'B'} \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} + 4 = 0\\{y_C} - 1 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 4\\{y_C} = 7\end{array} \right.\) suy ra \(C\left( { - 4; 7} \right)\).
b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{8 + \left( { - 4} \right) + \left({ - 4} \right)}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{1 + \left({ - 5} \right) + 7}}{3} = 1\end{array} \right.\) hay \(G\left( {0; 1} \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \dfrac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_{G'}} = \dfrac{{1 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3} = 1\end{array} \right.\) hay \(G'\left( {0; 1} \right)\).
Vậy \(G \equiv G'\).
a) Sử dụng tính chất của hai véc tơ bằng nhau \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\end{array} \right.\).
b) Tím tọa độ trọng tâm hai tam giác và so sánh, sử dụng công thức trọng tâm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
A) Ta có: \(\overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {A'B'} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 2 = 6\\{y_A} + 2 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8\\{y_A} = 1\end{array} \right.\) suy ra \(A\left( {8; 1} \right)\).
\(\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {C'B'} \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - {x_B} = 0\\1 - {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = - 4\\{y_B} = - 5\end{array} \right.\) suy ra \(B\left( { - 4; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {C'B'} \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} + 4 = 0\\{y_C} - 1 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 4\\{y_C} = 7\end{array} \right.\) suy ra \(C\left( { - 4; 7} \right)\).
b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{8 + \left( { - 4} \right) + \left({ - 4} \right)}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{1 + \left({ - 5} \right) + 7}}{3} = 1\end{array} \right.\) hay \(G\left( {0; 1} \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \dfrac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_{G'}} = \dfrac{{1 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3} = 1\end{array} \right.\) hay \(G'\left( {0; 1} \right)\).
Vậy \(G \equiv G'\).