Bài 1.6 trang 7 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Từ tính chất của hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), hãy chứng minh rằng:

Câu a​

Hàm số \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A, B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega  \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left({\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\).
Đặt \(\omega x + \alpha  = u\) , ta được \(\sin \left( {u + \omega T} \right) = \sin u\), với mọi số thực \(u\) .
Vậy suy ra \(\omega T = k2\pi \) , tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega }, k\) nguyên.
Ngược lại dễ thấy rằng
\(A\sin \left( {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right) \)\(= A\sin \left( {\omega x + \alpha  + k2\pi } \right)\)
\(= A\sin (\omega x + \alpha)\)
Vậy số \(T = {{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\) là số dương bé nhất thỏa mãn
\(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left({\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\).
(tức là \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\) ).

Câu b​

Hàm số \(y = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A, B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega  \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
T là số mà \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left({\omega x + \alpha } \right)\), với mọi \(x \in R\) thì
\(\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right) \) \(= \sin \left( {\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2}} \right)\)
Đặt \(\omega x + \alpha  + {\pi  \over 2} = u\), ta được \(\sin (u + \omega T) = \sin u\) với mọi \(u\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \) tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega }, k\) là số nguyên.
(Cách khác, \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left({\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x\), thì khi lấy \(x =  - {\alpha  \over \omega }\) , ta có \(\cos \omega T = \cos 0 = 1\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \), tức \(T = k{{2\pi } \over \omega }, k\) là số nguyên).
Từ đó dễ thấy rằng \(y = A\cos (\omega x + \alpha)\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega  \right|}}\).