Google
Câu hỏi: Hai con lắc lò xo dao động trên hai đường thẳng song song, vị trí cân bằng của hai vật cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với phương dao động. Con lắc thứ nhất có khối lượng $m_1=100 \mathrm{~g}$ dao động với phương trình $x_1=4 \cos (\omega t+\pi / 6) \mathrm{cm}$, con lắc thứ hai có khối lượng $m_2=200 \mathrm{~g}$ dao động với phương trình $x_2=\cos (2 \omega t+\pi / 3) \mathrm{cm}$. Tại thời điểm $t=1 \mathrm{~s}$, người ta nhận thấy khoảng cách giữa hai con lắc ( xét theo phương dao động ) là lớn nhất lần đầu tiên. Xét con lắc thứ ba có khối lượng $m_3=m_1+m_2$ dao động với phương trình $x_3=\dfrac{1}{512} x_1^6+\left(1-x_2\right)^3-10(\mathrm{~cm})$. Co năng của con lắc thứ ba có giá trị là
A. 0,005 J
B. $0,015 \mathrm{~J}$
C. $0,01 \mathrm{~J}$
D. $0,025 \mathrm{~J}$
A. 0,005 J
B. $0,015 \mathrm{~J}$
C. $0,01 \mathrm{~J}$
D. $0,025 \mathrm{~J}$
$
\begin{aligned}
& \left|x_2-x_1\right|=\left|2 \cos ^2\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)-1-4 \cos \left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)\right|=\left|2\left[\cos \left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)-1\right]^2-3\right| \\
& \left|x_2-x_1\right|_{\text {max }} \text { khi } \cos \left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)=-1 \text { lần đầu tiên } \rightarrow \omega=\dfrac{\alpha}{\Delta t}=\dfrac{\pi-\pi / 6}{1}=\dfrac{5 \pi}{6} \mathrm{rad} / \mathrm{s}
\end{aligned}
$
Cách 1: Tự luận
Theo đề bài $x_3=\dfrac{1}{512} x_1^6+\left(1-x_2\right)^3-10=\dfrac{1}{512}\left[4 \cos \left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]^6+\left[2 \sin ^2\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]^3-10$
$
\begin{aligned}
& =8 \cos ^6\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)+8 \sin ^6\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)-10=3 \cos \left(4 \omega t+\dfrac{4 \pi}{6}\right)-5 \\
& \Rightarrow v_3=x_3{ }^{\prime}=-3 \cdot 4 \omega \sin \left(4 \omega t+\dfrac{4 \pi}{6}\right) \Rightarrow v_{3 \max }=12 \omega=10 \pi \mathrm{cm} / \mathrm{s}=0,1 \pi \mathrm{m} / \mathrm{s} \\
& m_3=m_1+m_2=100+200=300 \mathrm{~g}=0,3 \mathrm{~kg} \\
& W_3=\dfrac{1}{2} m_3 v_{3 \max }^2=\dfrac{1}{2} \cdot 0,3(0,1 \pi)^2=0,015 \mathrm{~J} .>\mathbf{B}
\end{aligned}
$
Chú ý: $\sin ^6 \alpha+\cos ^6 \alpha=\left(\sin ^2 \alpha\right)^3+\left(\sin ^2 \alpha\right)^3=\underbrace{\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)}_{=1}\left(\sin ^4 \alpha-\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha+\cos ^4 \alpha\right)=$
$
=\left[\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right]^2-3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha=1-\dfrac{3}{4} \sin ^2 2 \alpha=1-\dfrac{3(1-\cos 4 \alpha)}{8}=\dfrac{3 \cos 4 \alpha}{8}+\dfrac{5}{8}
$
Nếu khai triển trên quá khó thì chúng ta có thể tìm $v_{3 m a x}$ bằng casio
Cách 2: Casio Fx570 thì dùng kĩ thuật truy hồi (dùng nhiều ở chương số phức bên toán)
Nhập $\left.\dfrac{d}{d x}\left(\dfrac{4^6}{512} \cos \left(\dfrac{5 \pi}{6} x+\dfrac{\pi}{6}\right)^6+\left(1-\cos \left(\dfrac{5 \pi}{3} x+\dfrac{\pi}{3}\right)\right)^3-10\right)\right|_{x=x}: x=x+0,01$
CALC $x=0$ bấm bằng liên tục sẽ ra giá trị của $v_3$ và để ý sự tăng giảm để xác định $v_{3 m a x}$
$
\Rightarrow v_{3 \max }
$
Cách 3: Casio Fx580 thì nhập luôn đạo hàm vào TABLE
$
f(x)=\dfrac{d}{d x}\left(\dfrac{4^6}{512} \cos \left(\dfrac{5 \pi}{6} x+\dfrac{\pi}{6}\right)^6+\left(1-\cos \left(\dfrac{5 \pi}{3} x+\dfrac{\pi}{3}\right)\right)^3-10\right)
$
$
\Rightarrow v_{3 \max }
$
\begin{aligned}
& \left|x_2-x_1\right|=\left|2 \cos ^2\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)-1-4 \cos \left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)\right|=\left|2\left[\cos \left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)-1\right]^2-3\right| \\
& \left|x_2-x_1\right|_{\text {max }} \text { khi } \cos \left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)=-1 \text { lần đầu tiên } \rightarrow \omega=\dfrac{\alpha}{\Delta t}=\dfrac{\pi-\pi / 6}{1}=\dfrac{5 \pi}{6} \mathrm{rad} / \mathrm{s}
\end{aligned}
$
Cách 1: Tự luận
Theo đề bài $x_3=\dfrac{1}{512} x_1^6+\left(1-x_2\right)^3-10=\dfrac{1}{512}\left[4 \cos \left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]^6+\left[2 \sin ^2\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]^3-10$
$
\begin{aligned}
& =8 \cos ^6\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)+8 \sin ^6\left(\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)-10=3 \cos \left(4 \omega t+\dfrac{4 \pi}{6}\right)-5 \\
& \Rightarrow v_3=x_3{ }^{\prime}=-3 \cdot 4 \omega \sin \left(4 \omega t+\dfrac{4 \pi}{6}\right) \Rightarrow v_{3 \max }=12 \omega=10 \pi \mathrm{cm} / \mathrm{s}=0,1 \pi \mathrm{m} / \mathrm{s} \\
& m_3=m_1+m_2=100+200=300 \mathrm{~g}=0,3 \mathrm{~kg} \\
& W_3=\dfrac{1}{2} m_3 v_{3 \max }^2=\dfrac{1}{2} \cdot 0,3(0,1 \pi)^2=0,015 \mathrm{~J} .>\mathbf{B}
\end{aligned}
$
Chú ý: $\sin ^6 \alpha+\cos ^6 \alpha=\left(\sin ^2 \alpha\right)^3+\left(\sin ^2 \alpha\right)^3=\underbrace{\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right)}_{=1}\left(\sin ^4 \alpha-\sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha+\cos ^4 \alpha\right)=$
$
=\left[\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right]^2-3 \sin ^2 \alpha \cos ^2 \alpha=1-\dfrac{3}{4} \sin ^2 2 \alpha=1-\dfrac{3(1-\cos 4 \alpha)}{8}=\dfrac{3 \cos 4 \alpha}{8}+\dfrac{5}{8}
$
Nếu khai triển trên quá khó thì chúng ta có thể tìm $v_{3 m a x}$ bằng casio
Cách 2: Casio Fx570 thì dùng kĩ thuật truy hồi (dùng nhiều ở chương số phức bên toán)
Nhập $\left.\dfrac{d}{d x}\left(\dfrac{4^6}{512} \cos \left(\dfrac{5 \pi}{6} x+\dfrac{\pi}{6}\right)^6+\left(1-\cos \left(\dfrac{5 \pi}{3} x+\dfrac{\pi}{3}\right)\right)^3-10\right)\right|_{x=x}: x=x+0,01$
CALC $x=0$ bấm bằng liên tục sẽ ra giá trị của $v_3$ và để ý sự tăng giảm để xác định $v_{3 m a x}$
\Rightarrow v_{3 \max }
$
Cách 3: Casio Fx580 thì nhập luôn đạo hàm vào TABLE
$
f(x)=\dfrac{d}{d x}\left(\dfrac{4^6}{512} \cos \left(\dfrac{5 \pi}{6} x+\dfrac{\pi}{6}\right)^6+\left(1-\cos \left(\dfrac{5 \pi}{3} x+\dfrac{\pi}{3}\right)\right)^3-10\right)
$
\Rightarrow v_{3 \max }
$
Đáp án B.
