Bài 1.15 trang 9 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh:

Câu a​

Điểm có tọa độ \(\left( {k\pi; 0} \right)\) (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \sin x\)
Lời giải chi tiết:
Điểm \(M'\left( {x'; y'} \right)\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {x; y} \right)\) qua điểm \(\left( {k\pi; 0} \right)\) khi và chỉ khi:
\({{x + x'} \over 2} = k\pi ,{{y + y'} \over 2} = 0\)
tức là
\(\left\{ \matrix{
x' = - x + k2\pi \hfill \cr
y' = y \hfill \cr} \right.\)
Gọi (C) là đồ thị hàm số \(y = \sin x\).
(C) nhận \(\left( {k\pi; 0} \right)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \(M\left( {x; y} \right)\) thuộc (C) (tức là với mọi \(x, y = \sin x\)) điểm \(M'\left( {x'; y'} \right)\) nói trên (tức là \(x' = - x + k2\pi, y' = - y)\) cũng thuộc (C); điều này có nghĩa là \(- \sin x = \sin \left( {x + k2\pi } \right),\) với mọi \(x \in Z\) là một tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số \(y = \sin x\)
Cách chứng minh khác:
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục hệ tọa độ IXY, với \(I\left( {k\pi; 0} \right); x = X + k\pi; y = Y\) (phép biến đổi gốc tọa độ), (h. Vẽ) thì đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số
\(Y = \sin \left( {X + k\pi } \right) = {\left({ - 1} \right)^k}\sin X\)
Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số \(Y = {\mathop{\rm sinX}\nolimits} \) cũng như hàm số \(Y = - {\mathop{\rm sinX}\nolimits} \) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I là tâm đối xứng.

Câu b​

Điểm có tọa độ \(\left( {{{k\pi } \over 2}; 0} \right)\) (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \tan x\)
Lời giải chi tiết:
Điểm \(M'\left( {x'; y'} \right)\) là điểm đối xứng của \(M\left( {x; y} \right)\) qua điểm \(\left( {{{k\pi } \over 2}; 0} \right)\) khi và chỉ khi
\({{x + x'} \over 2} = {{k\pi } \over 2},{{y + y'} \over 2} = 0,\)
tức là
\(\left\{ \matrix{
x' = - x + k\pi \hfill \cr
y' = - y \hfill \cr} \right.\)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \tan x\);
(C) nhận \(\left( {{{k\pi } \over 2}; 0} \right)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \(M\left( {x; y} \right)\) thuộc (C) (tức là \(x \in {D_1}, y = \tan x\)) điểm \(M'\left( {x'; y'} \right)\) nói trên (tức là \(x' = - x + k\pi, y' = - y\)) cũng thuộc (C); điều này có nghĩa là \(- \tan x = \tan \left( { - x + k\pi } \right),\) với mọi \(X \in {D_1}.\)
Điều đó đúng do \(\pi \) là chu kì của hàm số \(y = \tan x\).
Vậy điểm \(\left( {{{k\pi } \over 2}; 0} \right), k \in Z\) là một tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số \(y = \tan x\)
Chứng minh cách khác:
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang hệ trục tọa độ IXY, với \(I\left( {{{k\pi } \over 2}; 0} \right); x = X + {{k\pi } \over 2}; y = Y.\)
Đồ thị của hàm số \(y = \tan x\) trong hệ trục toạn độ Oxy là đồ thị của hàm số
\(Y = \tan \left( {X + k{\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{
\tan X neu K\text{ chẵn } \hfill \cr
- {1 \over {\tan X}} neu K\text{ lẻ } \hfill \cr} \right.\)
Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số \(Y = \tan X\) cũng như hàm số \(Y = - {1 \over {\tan X}}\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.

Câu c​

Đường thẳng có phương trình \(x = k\pi \) (k là một số nguyên) là trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \cos x\)
Lời giải chi tiết:
Điểm \(M'\left( {x'; y'} \right)\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {x; y} \right)\) qua đường thẳng \(x = k\pi \) (h. Vẽ) khi và chỉ khi \({{x + x'} \over 2} = k\pi, y = y',\) tức là
\(\left\{ \matrix{{x'} = - x + k2\pi \hfill \cr {y'} = y \hfill \cr} \right.\)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \cos x.\)
(C) nhận đường thẳng \(x = k\pi \) làm một trục đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \(M\left( {x; y} \right)\) thuộc C (tức là với mọi \(x, y = \cos x\)) điểm \(M'\left( {x'; y'} \right)\) nói trên cũng thuộc (C).
Điều này có nghĩa là
\(\cos x = \cos \left( { - x + k2\pi } \right),\forall x \in R\)
Rõ ràng ta có đẳng thức đó, do \(2\pi \) là chu kì của hàm số \(y = \cos x.\)
Vậy đường thẳng \(x = k\pi, k \in Z\) là một trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số \(y = \cos x.\)

Cách chứng minh khác
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục toạ độ IXY, với \(I\left( {k\pi; 0} \right); x = X + k\pi; y = Y,\) thì đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số \(Y = \cos \left( {X + k\pi } \right) = {\left({ - 1} \right)^k}\cos X\) trong hệ tọa độ IXY.
Vì hàm số \(Y = \cos X\) cũng như hàm số \(Y = - \cos X\) là các hàm số chẵn nên đồ thị đó nhận trục IXY (tức là đường thẳng \(x = k\pi \)) làm trục đối xứng.