Google
Câu hỏi: Cho hình chóp \(S. ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(SC\) cắt \(SB, SC\) lần lượt tại \(M, N\). Biết rằng \(SA = AC = 5\), \(AB = 3, BC = 4\). Thể tích khối chóp \(S. AMN\) bằng
A. \(\dfrac{{125}}{{68}}\)
B. \(\dfrac{{125}}{{34}}\)
C. \(\dfrac{{175}}{{34}}\)
D. \(\dfrac{{125}}{{17}}\)
A. \(\dfrac{{125}}{{68}}\)
B. \(\dfrac{{125}}{{34}}\)
C. \(\dfrac{{175}}{{34}}\)
D. \(\dfrac{{125}}{{17}}\)
Phương pháp giải
- Tính tỉ số diện tích hai tam giác \(SMN\) và \(SBC\).
- Từ đó suy ra tỉ số thể tích khối chóp \(S. AMN\) so với \(S. ABC\).
- Tính \({V_{S. ABC}}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(SC \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SC \bot AM\\SC \bot MN\end{array} \right.\).
Tam giác \(ABC\) có:
\(A{C^2} =5^2=25\)
\(A{B^2} + B{C^2}=3^2+4^2=25 \)
nên \(AC^2=AB^2+BC^2\) hay tam giác ABC vuông tại \(B\).
Suy ra \(AB \bot BC\), mà \(SA \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Xét tam giác SMN và SCB có: \(\widehat {SNM} = \widehat {SBC} = {90^0}\) và chung góc S
\(\Rightarrow \Delta SMN \backsim \Delta SCB\left( {g - g} \right)\) \(\Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2}\)
Tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\) có \(AN \bot SC\) \(\Rightarrow SN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{5^2} + {5^2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(SAB\) có \(SA = 5, AB = 3 \Rightarrow SB = \sqrt {34} \)
\(\Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{68}}\)\(\Rightarrow \dfrac{{{V_{S. AMN}}}}{{{V_{S. ABC}}}} = \dfrac{{25}}{{68}}\).
Mà \({V_{S. ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} \) \(= \dfrac{1}{3}. 5.\dfrac{1}{2}. 3.4 = 10\) nên \({V_{S. AMN}} = \dfrac{{25}}{{68}}. 10 = \dfrac{{125}}{{34}}\).
- Tính tỉ số diện tích hai tam giác \(SMN\) và \(SBC\).
- Từ đó suy ra tỉ số thể tích khối chóp \(S. AMN\) so với \(S. ABC\).
- Tính \({V_{S. ABC}}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(SC \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SC \bot AM\\SC \bot MN\end{array} \right.\).
Tam giác \(ABC\) có:
\(A{C^2} =5^2=25\)
\(A{B^2} + B{C^2}=3^2+4^2=25 \)
nên \(AC^2=AB^2+BC^2\) hay tam giác ABC vuông tại \(B\).
Suy ra \(AB \bot BC\), mà \(SA \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Xét tam giác SMN và SCB có: \(\widehat {SNM} = \widehat {SBC} = {90^0}\) và chung góc S
\(\Rightarrow \Delta SMN \backsim \Delta SCB\left( {g - g} \right)\) \(\Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2}\)
Tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\) có \(AN \bot SC\) \(\Rightarrow SN = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt {{5^2} + {5^2}} = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(SAB\) có \(SA = 5, AB = 3 \Rightarrow SB = \sqrt {34} \)
\(\Rightarrow \dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCB}}}} = {\left( {\dfrac{{SN}}{{SB}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{68}}\)\(\Rightarrow \dfrac{{{V_{S. AMN}}}}{{{V_{S. ABC}}}} = \dfrac{{25}}{{68}}\).
Mà \({V_{S. ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} \) \(= \dfrac{1}{3}. 5.\dfrac{1}{2}. 3.4 = 10\) nên \({V_{S. AMN}} = \dfrac{{25}}{{68}}. 10 = \dfrac{{125}}{{34}}\).
Đáp án B.