Google
Câu hỏi: Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $\widehat{BAC}=135{}^\circ $. Trên đường thẳng vuông góc với $\left( ABC \right)$ tại $A$, lấy điểm $S$ thỏa mãn $SA=a\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB$, $SC$ lần lượt là $M, N$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( AMN \right)$ bằng
A. $45{}^\circ $.
B. $60{}^\circ $.
C. $75{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Kẻ đường kính $AD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& DC\bot AC \\
& DC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot AN$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AN\bot DC \\
& AN\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AN\bot \left( SDC \right)\Rightarrow AN\bot SD$.
Chứng minh tương tự $AM\bot SD$.
$\left\{ \begin{aligned}
& SD\bot AN \\
& SD\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SD\bot \left( AMN \right)$.
Mặt khác $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( \left( ABC \right); \left( AMN \right) \right)=\left( SA; SD \right)=\widehat{ASD}$.
Tam giác $ABC$ có $\dfrac{BC}{\sin A}=2R\Leftrightarrow \dfrac{a}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=AD\Leftrightarrow AD=a\sqrt{2}$.
Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ nên $\tan \widehat{ASD}=\dfrac{AD}{SA}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{ASD}=45{}^\circ $.
Vậy $\left( \left( ABC \right); \left( AMN \right) \right)=45{}^\circ $.
A. $45{}^\circ $.
B. $60{}^\circ $.
C. $75{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Kẻ đường kính $AD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& DC\bot AC \\
& DC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot AN$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AN\bot DC \\
& AN\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AN\bot \left( SDC \right)\Rightarrow AN\bot SD$.
Chứng minh tương tự $AM\bot SD$.
$\left\{ \begin{aligned}
& SD\bot AN \\
& SD\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SD\bot \left( AMN \right)$.
Mặt khác $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( \left( ABC \right); \left( AMN \right) \right)=\left( SA; SD \right)=\widehat{ASD}$.
Tam giác $ABC$ có $\dfrac{BC}{\sin A}=2R\Leftrightarrow \dfrac{a}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=AD\Leftrightarrow AD=a\sqrt{2}$.
Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ nên $\tan \widehat{ASD}=\dfrac{AD}{SA}=\dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{ASD}=45{}^\circ $.
Vậy $\left( \left( ABC \right); \left( AMN \right) \right)=45{}^\circ $.
Đáp án A.