Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh là $a$. Tam giác ${A}'AB$ cân tại ${A}'$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, mặt bên $\left( A{A}'{C}'C \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ một góc ${{45}^{{}^\circ }}$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{32}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.
Tam giác ${A}'AB$ cân tại ${A}'$ nên ${A}'I\bot AB$.
Theo giả thiết, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BA \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( {A}'BA \right)\cap \left( ABC \right)=AB \\
& {A}'I\bot AB,{A}'I\subset \left( {A}'BA \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow {A}'I\bot \left( ABC \right)$.
Kẻ $IM\bot AC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IM\bot AC \\
& {A}'I\bot AC \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left( {A}'IM \right)\bot AC $ $ \Rightarrow {A}'M\bot AC$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AC{C}'{A}' \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\
& {A}'M\bot AC \\
& IM\bot AC \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left( \widehat{\left( AC{C}'{A}' \right);\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{{A}'M;IM} \right)=\widehat{{A}'MI}=45{}^\circ $.
Xét tam giác $IAM$ vuông tại $M$ nên $IM={A}'I.\sin \widehat{IAM}=\dfrac{a}{2}.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Xét tam giác ${A}'MI$ vuông tại $I$ nên ${A}'I=IM.\tan \widehat{{A}'MI}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\tan 45{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích của khối lăng trụ là
${{V}_{ABC.A'B'C'}}={A}'I\cdot {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}.$
A. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{32}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
C. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
D. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}$.
Tam giác ${A}'AB$ cân tại ${A}'$ nên ${A}'I\bot AB$.
Theo giả thiết, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BA \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( {A}'BA \right)\cap \left( ABC \right)=AB \\
& {A}'I\bot AB,{A}'I\subset \left( {A}'BA \right) \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow {A}'I\bot \left( ABC \right)$.
Kẻ $IM\bot AC$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IM\bot AC \\
& {A}'I\bot AC \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left( {A}'IM \right)\bot AC $ $ \Rightarrow {A}'M\bot AC$.
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AC{C}'{A}' \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\
& {A}'M\bot AC \\
& IM\bot AC \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left( \widehat{\left( AC{C}'{A}' \right);\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{{A}'M;IM} \right)=\widehat{{A}'MI}=45{}^\circ $.
Xét tam giác $IAM$ vuông tại $M$ nên $IM={A}'I.\sin \widehat{IAM}=\dfrac{a}{2}.\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Xét tam giác ${A}'MI$ vuông tại $I$ nên ${A}'I=IM.\tan \widehat{{A}'MI}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\tan 45{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích của khối lăng trụ là
${{V}_{ABC.A'B'C'}}={A}'I\cdot {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{3}}}{16}.$
Đáp án D.
