Câu 4.8 trang 177 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho vectơ \(\vec u,\vec u'\) trong mặt phẳng  phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.

Câu a​

Chứng minh rằng tích vô hướng \(\vec u.\vec {u'}\) thỏa mãn
\(\vec u.\vec {u'} = {1 \over 2}\left( {\bar zz' + z\bar {z'}} \right)\)
Giải chi tiết:
Viết \(z = x + yi, z' = x' + y'i\left( {x, y, x', y' \in R} \right)\) thì \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = xx' + yy'\)  và  \(\bar zz' + z\bar{ z'} = \left( {x - yi} \right)\left({x' + y'i} \right) + \left({x + yi} \right)\left({x' - y'i} \right) \)
\(= 2\left( {xx' + yy'} \right)\)
nên \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = {1 \over 2}\left( {\bar zz' + z\bar z'} \right)\)

Câu b​

Từ câu a) suy ra rằng nếu \(\bar u \ne 0\) thì \(\vec u,\vec {u'}\) vuông góc khi và chỉ khi \({{z'} \over z}\) là số ảo.
Giải chi tiết:
\(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = 0 \Leftrightarrow \bar zz' + z\bar {z'} = 0\), chia cả hai vế cho \(z\bar z \ne 0,\) được
\(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 0 \Leftrightarrow {{z'} \over z} + {\bar {z'}  \over{\overline z } } = 0\)
\(\Leftrightarrow {{z'} \over z} + \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)}  = 0 \Leftrightarrow {{z'} \over z}\) là số ảo.

Câu c​

Chứng minh rằng \(\vec u,\vec {u'}\) vuông góc khi và chỉ khi \(\left| {z + z'} \right| = \left| {z - z'} \right|\)
Giải chi tiết:
\(\left| {z + z'} \right| = \left| {z - z'} \right|\)
\(\Leftrightarrow \left( {z + z'} \right)\left({\overline {z + z'} } \right) = \left({z - z'} \right)\left({\overline {z - z'} } \right)\)
\(\Leftrightarrow \bar zz' + z\bar{ z'} = 0,\)
nên câu a) nó tương đương với \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}= 0\) (Chú ý: khi \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}\) không cùng phương, tính chất cuối này tương đương với tính chất: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật)