Google
Câu hỏi: Biết \(\sin {\pi \over {10}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 4}.\) Chứng minh rằng hàm số
\(y = \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\)
Đồng biến trên \(\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi \over {10}}} \right)\)
\(y = \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\)
Đồng biến trên \(\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi \over {10}}} \right)\)
Lời giải chi tiết
Từ \(\sin {\pi \over {10}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 4}\) suy ra \(\cos {\pi \over {10}} = \sqrt {1 - {{\left( {{{\sqrt 5 - 1} \over 4}} \right)}^2}} = {{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \over 4}\). Do đó
\(y = \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\)
\(= 4\cos \left( {x - {\pi \over {10}}} \right)\)
Khi x tăng từ \({{ - 9\pi } \over {10}}\) đến \({\pi \over {10}}\) thì \(x - {\pi \over {10}}\) tăng từ \(- \pi \) đến 0 nên \(y = 4\cos \left( {x - {\pi \over {10}}} \right)\) tăng từ -4 đến 4. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi \over {10}}} \right)\)
Từ \(\sin {\pi \over {10}} = {{\sqrt 5 - 1} \over 4}\) suy ra \(\cos {\pi \over {10}} = \sqrt {1 - {{\left( {{{\sqrt 5 - 1} \over 4}} \right)}^2}} = {{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \over 4}\). Do đó
\(y = \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x\)
\(= 4\cos \left( {x - {\pi \over {10}}} \right)\)
Khi x tăng từ \({{ - 9\pi } \over {10}}\) đến \({\pi \over {10}}\) thì \(x - {\pi \over {10}}\) tăng từ \(- \pi \) đến 0 nên \(y = 4\cos \left( {x - {\pi \over {10}}} \right)\) tăng từ -4 đến 4. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi \over {10}}} \right)\)