Google
Câu hỏi: Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số nguyên \(n \ge 2\) và mọi số thực x thỏa mãn \(\left| x \right| < 1\)
\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left({1 + x} \right)^n} < {2^n}\)
\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left({1 + x} \right)^n} < {2^n}\)
Lời giải chi tiết
Khi \(n = 2,\) bất đẳng thức đúng vì
\({\left( {1 - x} \right)^2} + {\left({1 + x} \right)^2} = 2\left({1 - {x^2}} \right) < 2 \left({do {x^2} < 1} \right)\)
Giả sử \(n \ge 2,\)ta có:
\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left({1 + x} \right)^n} < {2^n} ,\left({ \left| x \right| < 1} \right)\) (1)
Ta cần chứng minh
\({\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left({1 + x} \right)^{n + 1}} < {2^{n + 1}},\left({\left| x \right| < 1} \right)\) (2)
Thật vậy, do \(\left| x \right| < 1\) nên \(0 < 1 - x < 2\) và \(0 < 1 + x < 2;\) Từ đó ta có
\(\eqalign{ & {\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left({1 + x} \right)^{n + 1}} = {\left({1 - x} \right)^n}\left({1 - x} \right) + {\left({1 + x} \right)^n}\left({1 + x} \right) \cr & < 2\left[ {{{\left({1 - x} \right)}^n} + \left({1 + x} \right)} \right] < {2.2^n} = {2^{n + 1}} \cr} \)
Khi \(n = 2,\) bất đẳng thức đúng vì
\({\left( {1 - x} \right)^2} + {\left({1 + x} \right)^2} = 2\left({1 - {x^2}} \right) < 2 \left({do {x^2} < 1} \right)\)
Giả sử \(n \ge 2,\)ta có:
\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left({1 + x} \right)^n} < {2^n} ,\left({ \left| x \right| < 1} \right)\) (1)
Ta cần chứng minh
\({\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left({1 + x} \right)^{n + 1}} < {2^{n + 1}},\left({\left| x \right| < 1} \right)\) (2)
Thật vậy, do \(\left| x \right| < 1\) nên \(0 < 1 - x < 2\) và \(0 < 1 + x < 2;\) Từ đó ta có
\(\eqalign{ & {\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left({1 + x} \right)^{n + 1}} = {\left({1 - x} \right)^n}\left({1 - x} \right) + {\left({1 + x} \right)^n}\left({1 + x} \right) \cr & < 2\left[ {{{\left({1 - x} \right)}^n} + \left({1 + x} \right)} \right] < {2.2^n} = {2^{n + 1}} \cr} \)