Google
Câu hỏi: Cho tam giác đều \(ABC\) có trọng tâm \(O\) và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \)
Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác
A1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC như hình vẽ.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
M{B_1}//AB \Rightarrow \widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {ABC} = {60^0}\\
M{C_2}//AC \Rightarrow \widehat {M{C_2}{B_1}} = \widehat {ACB} = {60^0}
\end{array}\)
Tam giác \(M{B_1}{C_2}\) có \(\widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {M{C_2}{B_1}} = {60^0}\) nên là tam giác đều.
Tương tự các tam giác MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều.
Ta lại có MD
B1C2 nên MD cũng là trung tuyến.
Do đó D là trung điểm của cạnh B1C2
Ta có: $2 \overrightarrow{M D}=\overrightarrow{M B_{1}}+\overrightarrow{M C_{2}}$
Tương tự:
$2 \overrightarrow{M E}=\overrightarrow{M A_{1}}+\overrightarrow{M C_{1}}$
$2 \overrightarrow{M F}=\overrightarrow{M A_{2}}+\overrightarrow{M B_{2}}$
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {ME} + 2\overrightarrow {MF} \\
= \left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{C_1}} + \overrightarrow {M{A_1}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{B_2}} } \right)
\end{array}\)
$=>2(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F})$
$=\left(\overrightarrow{M A_{1}}+\overrightarrow{M A_{2}}\right)$
$+\left(\overrightarrow{M B_{1}}+\overrightarrow{M B_{2}}\right)$
$+\left(\overrightarrow{\left.M C_{1}+\overrightarrow{M C_{2}}\right)}\right.$
Tứ giác \(M{A_1}A{A_2}\) là hình bình hành nên $\overrightarrow{M A_{1}}+\overrightarrow{M A_{2}}=\overrightarrow{M A}$
Tương tự:
$\overrightarrow{M B_{1}}+\overrightarrow{M B_{2}}=\overrightarrow{M B}$
$\overrightarrow{M C_{1}}+\overrightarrow{M C_{2}}=\overrightarrow{M C}$
$\Rightarrow 2(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F})=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}$
Vì O là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì nên $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \overrightarrow{M O}$
Cuối cùng ta có:
$2(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F})=3 \overrightarrow{M O}$
$\Rightarrow \overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{M O}$
\(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \)
Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác
A1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC như hình vẽ.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
M{B_1}//AB \Rightarrow \widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {ABC} = {60^0}\\
M{C_2}//AC \Rightarrow \widehat {M{C_2}{B_1}} = \widehat {ACB} = {60^0}
\end{array}\)
Tam giác \(M{B_1}{C_2}\) có \(\widehat {M{B_1}{C_2}} = \widehat {M{C_2}{B_1}} = {60^0}\) nên là tam giác đều.
Tương tự các tam giác MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều.
Ta lại có MD
Do đó D là trung điểm của cạnh B1C2
Ta có: $2 \overrightarrow{M D}=\overrightarrow{M B_{1}}+\overrightarrow{M C_{2}}$
Tương tự:
$2 \overrightarrow{M E}=\overrightarrow{M A_{1}}+\overrightarrow{M C_{1}}$
$2 \overrightarrow{M F}=\overrightarrow{M A_{2}}+\overrightarrow{M B_{2}}$
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {ME} + 2\overrightarrow {MF} \\
= \left( {\overrightarrow {M{B_1}} + \overrightarrow {M{C_2}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{C_1}} + \overrightarrow {M{A_1}} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {M{A_2}} + \overrightarrow {M{B_2}} } \right)
\end{array}\)
$=>2(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F})$
$=\left(\overrightarrow{M A_{1}}+\overrightarrow{M A_{2}}\right)$
$+\left(\overrightarrow{M B_{1}}+\overrightarrow{M B_{2}}\right)$
$+\left(\overrightarrow{\left.M C_{1}+\overrightarrow{M C_{2}}\right)}\right.$
Tứ giác \(M{A_1}A{A_2}\) là hình bình hành nên $\overrightarrow{M A_{1}}+\overrightarrow{M A_{2}}=\overrightarrow{M A}$
Tương tự:
$\overrightarrow{M B_{1}}+\overrightarrow{M B_{2}}=\overrightarrow{M B}$
$\overrightarrow{M C_{1}}+\overrightarrow{M C_{2}}=\overrightarrow{M C}$
$\Rightarrow 2(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F})=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}$
Vì O là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì nên $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \overrightarrow{M O}$
Cuối cùng ta có:
$2(\overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F})=3 \overrightarrow{M O}$
$\Rightarrow \overrightarrow{M D}+\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{M O}$