Google
Câu hỏi: Trên đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy một điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow v = \overrightarrow {AC}. \)
Phương pháp giải
+) Với 3 điểm \(A, B, C\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\)
Lời giải chi tiết
Trước hết ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC}\cr& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3.(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC}) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {BC} \cr
& \Rightarrow - 2\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {BC} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {BC} \cr &\Rightarrow \overrightarrow {BM} = {3 \over 2}\overrightarrow {BC} \cr} \)
Mà \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {BM} = {3 \over 2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB})\)
Theo quy tắc \(3\) điểm, ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \cr&= \overrightarrow {AB} + {3 \over 2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}) \cr& = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} \cr &= - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {3 \over 2}\overrightarrow {AC} \cr
&\text{ Hay } \overrightarrow {AM} = - {1 \over 2}\overrightarrow u + {3 \over 2}\overrightarrow v \cr} \)
Cách khác:
Ta có: \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
Theo quy tắc ba điểm ta có:
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}-\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ (1)
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}-\overrightarrow{\mathrm{MC}}$ (2)
Lấy (2) nhân với 3 rồi lấy (1) trừ đi ta được:
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}-3 \cdot \overrightarrow{\mathrm{AM}}=(\overrightarrow{\mathrm{u}}-\overrightarrow{\mathrm{MB}})-3 \cdot(\overrightarrow{\mathrm{v}}-\overrightarrow{\mathrm{MC}})$
$\Leftrightarrow-2 \cdot \overrightarrow{\mathrm{AM}}=(\overrightarrow{\mathrm{u}}-3 \overrightarrow{\mathrm{v}})-(\overrightarrow{\mathrm{MB}}-3 \cdot \overrightarrow{\mathrm{MC}})$
$\Leftrightarrow-2 \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}-3 \overrightarrow{\mathrm{v}}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{-1}{2} \overrightarrow{\mathrm{u}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{v}}$
+) Với 3 điểm \(A, B, C\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\)
Lời giải chi tiết
Trước hết ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC}\cr& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3.(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC}) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {BC} \cr
& \Rightarrow - 2\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {BC} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {BC} \cr &\Rightarrow \overrightarrow {BM} = {3 \over 2}\overrightarrow {BC} \cr} \)
Mà \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {BM} = {3 \over 2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB})\)
Theo quy tắc \(3\) điểm, ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \cr&= \overrightarrow {AB} + {3 \over 2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}) \cr& = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} \cr &= - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {3 \over 2}\overrightarrow {AC} \cr
&\text{ Hay } \overrightarrow {AM} = - {1 \over 2}\overrightarrow u + {3 \over 2}\overrightarrow v \cr} \)
Cách khác:
Ta có: \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
Theo quy tắc ba điểm ta có:
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}-\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ (1)
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CM}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}-\overrightarrow{\mathrm{MC}}$ (2)
Lấy (2) nhân với 3 rồi lấy (1) trừ đi ta được:
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}-3 \cdot \overrightarrow{\mathrm{AM}}=(\overrightarrow{\mathrm{u}}-\overrightarrow{\mathrm{MB}})-3 \cdot(\overrightarrow{\mathrm{v}}-\overrightarrow{\mathrm{MC}})$
$\Leftrightarrow-2 \cdot \overrightarrow{\mathrm{AM}}=(\overrightarrow{\mathrm{u}}-3 \overrightarrow{\mathrm{v}})-(\overrightarrow{\mathrm{MB}}-3 \cdot \overrightarrow{\mathrm{MC}})$
$\Leftrightarrow-2 \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}-3 \overrightarrow{\mathrm{v}}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{-1}{2} \overrightarrow{\mathrm{u}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{v}}$