Google
Câu hỏi: Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.
Lời giải chi tiết
\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Tương tự ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr& = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \cr&= {1 \over 2}\left({\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = \frac{1}{2}\left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \cr} \)
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MPR\), ta có:
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 (2)\)
Mặt khác :
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \)\(= \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) \) \(+ (\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS}) \)
\(= \overrightarrow 0 + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} \) \(= \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} \)
(vì \(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} \) \(= - \overrightarrow {GM} - \overrightarrow {GP} - \overrightarrow {GR} \) \(= - \left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} } \right) = \overrightarrow 0 \))
\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS}\) \( = \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} \)
Mà \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\) nên
\(\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \)
Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)
Cách khác:
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR \(\Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 \)
Ta cần chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh \(\Rightarrow \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \)
Thật vậy ta có:
\(\begin{array}{l}2\left( {\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GN} + 2\overrightarrow {GQ} + 2\overrightarrow {GS} \\ = \left({\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left({\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} } \right) + \left({\overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GA} } \right)\end{array}\)
(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)
\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left({\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) + \left({\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GP} + 2\overrightarrow {GR} \end{array}\)
(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)
\(\begin{array}{l} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} } \right)\\ = 2\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Do đó G cũng là trọng tâm của ΔNQS.
Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.
\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Tương tự ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr& = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \cr&= {1 \over 2}\left({\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = \frac{1}{2}\left({\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \cr} \)
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MPR\), ta có:
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 (2)\)
Mặt khác :
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \)\(= \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) \) \(+ (\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS}) \)
\(= \overrightarrow 0 + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} \) \(= \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} \)
(vì \(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} \) \(= - \overrightarrow {GM} - \overrightarrow {GP} - \overrightarrow {GR} \) \(= - \left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} } \right) = \overrightarrow 0 \))
\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS}\) \( = \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} \)
Mà \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\) nên
\(\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \)
Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)
Cách khác:
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR \(\Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 \)
Ta cần chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh \(\Rightarrow \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \)
Thật vậy ta có:
\(\begin{array}{l}2\left( {\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GN} + 2\overrightarrow {GQ} + 2\overrightarrow {GS} \\ = \left({\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left({\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} } \right) + \left({\overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GA} } \right)\end{array}\)
(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)
\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left({\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) + \left({\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right)\\ = 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GP} + 2\overrightarrow {GR} \end{array}\)
(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)
\(\begin{array}{l} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} } \right)\\ = 2\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Do đó G cũng là trọng tâm của ΔNQS.
Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.