Bài 67 trang 15 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh:

Câu a​

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \(a\),\(b\):
\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\).
Lời giải chi tiết:
Gọi hình chữ nhật có chiều dài \(a\) và chiều rộng \(b\) (với \(a>b>0\))
Các hình chữ nhật có cùng chu vi thì \(C = 2.(a + b)\) không đổi hay \((a + b)\) không đổi.
Suy ra: \(\displaystyle{{a + b} \over 2}\) không đổi.
Diện tích của hình chữ nhật \(S=a.b\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
\( \displaystyle\begin{array}{l}
\Leftrightarrow ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow S \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}
\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b.\) Hay hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.
Vậy để \( {S_{\max }} = {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\) thì hình chữ nhật là hình vuông.
Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
(Chú ý: max là lớn nhất)

Câu b​

Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \(a\),\(b\):
\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\).
Lời giải chi tiết:
Gọi hình chữ nhật có chiều dài \(a\) và chiều rộng \(b\) (với \(a>b>0\))
Các hình chữ nhật có cùng diện tích \(S=a.b\) thì \(a.b\) không đổi.
Từ bất đẳng thức:
\( \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow a + b \le 2\sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow 2.(a + b) \le 4\sqrt {ab} \)
\( \Leftrightarrow C \le 4\sqrt {ab} \)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Vậy để \({C_{\min }} = 4\sqrt {ab} \) thì hình chữ nhật là hình vuông.
Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.
(Chú ý: min là nhỏ nhất)