Bài 64 trang 15 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi:

Câu a​

Chứng minh:
\(x + 2\sqrt {2x - 4} = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) với \(x \ge 2\);
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
\(VP = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) (với \(x \ge 2\))
\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}\)\( + {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}\)
\(= 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \)
\( x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} =VT\)
\(=>VP=VT(đpcm)\)
Cách 2:
Ta có:
\(VT= x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} \)
\(= 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \)
\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}\)\( + {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}\)
\( = {\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) (với \(x \ge 2\))=VP
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu b​

Rút gọn biểu thức:
\(\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \) với \(x \ge 2\).
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Ta có: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Với \(A \ge 0\) thì ta có \(\left| A \right| = A\)
Với \(A < 0\) thì ta có \(\left| A \right| = -A\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \)
\( = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2}\)\( + \sqrt {2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2} \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right)}^2}}\)\( + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} }\right)}^2}} \)
\( = \left| {\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} } \right| + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\)
\( = \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\)
+) Nếu \(\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \ge 0\) thì
\(\eqalign{
& \sqrt {x - 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr} \)
Với \(2 \le x \le 4\) thì \(\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \)
Ta có: \( \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\)
\(=\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 \)
+) Nếu \(\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} < 0\) thì
\(\sqrt {x - 2} > \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4\)
Với \(x > 4\) thì \(\left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \)
Ta có: \( \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \left| {\sqrt 2 - \sqrt {x - 2} } \right|\)
\(=\sqrt 2 + \sqrt {x - 2} + \sqrt {x - 2} - \sqrt 2\)\( = 2\sqrt {x - 2} \)