Google
Câu hỏi: Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 2x - 15 < 0 \hfill \cr
(m + 1)x \ge 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 2x - 15 < 0 \hfill \cr
(m + 1)x \ge 3 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải
Giải bpt đầu.
Biện luận bpt thứ hai, từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết
Ta có: x2 + 2x – 15 < 0 ⇔ -5 < x < 3 \( \Rightarrow {S_1} = \left( { - 5; 3} \right)\)
Ta xét bất phương trình: (m + 1)x ≥ 3 (*)
+ Nếu m = -1 thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x \ge 3\) (vô lí) \(\Rightarrow S_2 = Ø\)
Do đó \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) (loại)
+ Nếu m > -1 thì: \((*) \Leftrightarrow x \ge {3 \over {m + 1}}\)
\(\Rightarrow {S_2} = \left[ {\frac{3}{{m + 1}}; + \infty } \right)\)
Hệ có nghiệm: \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{3}{{m + 1}} < 3 \Leftrightarrow 3 < 3\left({m + 1} \right)\\
\left({do m > - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 3m > 0 \Leftrightarrow m > 0
\end{array}\)
Kết hợp \(m>-1\) ta được \(m>0\).
+ Nếu m < -1 thì \((*) \Leftrightarrow x \le {3 \over {m + 1}}\) \( \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;\frac{3}{{m + 1}}} \right]\)
Hệ có nghiệm: \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{3}{{m + 1}} > - 5 \Leftrightarrow 3 < - 5\left({m + 1} \right)\\
\left({do m < - 1 \Rightarrow m + 1 < 0} \right)\\
\Leftrightarrow 5m + 8 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{8}{5}
\end{array}\)
Kết hợp \(m < -1 \) ta được \(m < - \frac{8}{5}\).
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left[ \matrix{
m < - {8 \over 5} \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr} \right.\)
Giải bpt đầu.
Biện luận bpt thứ hai, từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết
Ta có: x2 + 2x – 15 < 0 ⇔ -5 < x < 3 \( \Rightarrow {S_1} = \left( { - 5; 3} \right)\)
Ta xét bất phương trình: (m + 1)x ≥ 3 (*)
+ Nếu m = -1 thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0x \ge 3\) (vô lí) \(\Rightarrow S_2 = Ø\)
Do đó \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) (loại)
+ Nếu m > -1 thì: \((*) \Leftrightarrow x \ge {3 \over {m + 1}}\)
\(\Rightarrow {S_2} = \left[ {\frac{3}{{m + 1}}; + \infty } \right)\)
Hệ có nghiệm: \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{3}{{m + 1}} < 3 \Leftrightarrow 3 < 3\left({m + 1} \right)\\
\left({do m > - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 3m > 0 \Leftrightarrow m > 0
\end{array}\)
Kết hợp \(m>-1\) ta được \(m>0\).
+ Nếu m < -1 thì \((*) \Leftrightarrow x \le {3 \over {m + 1}}\) \( \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;\frac{3}{{m + 1}}} \right]\)
Hệ có nghiệm: \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{3}{{m + 1}} > - 5 \Leftrightarrow 3 < - 5\left({m + 1} \right)\\
\left({do m < - 1 \Rightarrow m + 1 < 0} \right)\\
\Leftrightarrow 5m + 8 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{8}{5}
\end{array}\)
Kết hợp \(m < -1 \) ta được \(m < - \frac{8}{5}\).
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left[ \matrix{
m < - {8 \over 5} \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr} \right.\)