Google
Câu hỏi: Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có:
\(- 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)
\(- 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)
Phương pháp giải
Tam thức bậc hai
\(a{x^2} + bx + c \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Vì 2x2 – 3x + 3 > 0 ∀x ∈ R
(do a = 3 > 0; Δ = -15 < 0)
Nên:
\(\eqalign{
& - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7 \cr&\Leftrightarrow - 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a \cr& <7(2{x^2} - 3x + 2) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a\\{x^2} + 5x + a < 14{x^2} - 21x + 14\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0 (1) \hfill \cr 13{x^2} - 26x - a + 14 > 0 (2) \hfill \cr} \right.\cr} \)
BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow\) hệ trên nghiệm đúng với mọi x
\(\Leftrightarrow\) các bpt (1) và (2) nghiệm đúng với mọi x.
\(VT\left( 1 \right) = 3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0,\forall x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 > 0\\
{\Delta _{\left(1 \right)}}' = 1 - 3\left({a + 2} \right) \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow - 5 - 3a \le 0 \Leftrightarrow a \ge - \frac{5}{3}\) (3)
\(VT\left( 2 \right) = 13{x^2} - 26x - a + 14 > 0,\forall x \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13 > 0\\
{\Delta _{\left(2 \right)}}' = {13^2} - 13\left({ - a + 14} \right) < 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow - 13 + 13a < 0 \Leftrightarrow a < 1\) (4)
Kết hợp (3) và (4) ta được \( - {5 \over 3} \le a < 1\)
Tam thức bậc hai
\(a{x^2} + bx + c \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Vì 2x2 – 3x + 3 > 0 ∀x ∈ R
(do a = 3 > 0; Δ = -15 < 0)
Nên:
\(\eqalign{
& - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7 \cr&\Leftrightarrow - 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a \cr& <7(2{x^2} - 3x + 2) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a\\{x^2} + 5x + a < 14{x^2} - 21x + 14\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0 (1) \hfill \cr 13{x^2} - 26x - a + 14 > 0 (2) \hfill \cr} \right.\cr} \)
BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow\) hệ trên nghiệm đúng với mọi x
\(\Leftrightarrow\) các bpt (1) và (2) nghiệm đúng với mọi x.
\(VT\left( 1 \right) = 3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0,\forall x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 > 0\\
{\Delta _{\left(1 \right)}}' = 1 - 3\left({a + 2} \right) \le 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow - 5 - 3a \le 0 \Leftrightarrow a \ge - \frac{5}{3}\) (3)
\(VT\left( 2 \right) = 13{x^2} - 26x - a + 14 > 0,\forall x \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13 > 0\\
{\Delta _{\left(2 \right)}}' = {13^2} - 13\left({ - a + 14} \right) < 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow - 13 + 13a < 0 \Leftrightarrow a < 1\) (4)
Kết hợp (3) và (4) ta được \( - {5 \over 3} \le a < 1\)