Bài 6.35 trang 194 SBT đại số 10

Câu hỏi: Chứng minh rằng các biểu thức sau là những số không phụ thuộc α

Câu a​

a) A = 2(sin6​α + cos6​α) - 3(sin4​α + cos4​α)
Lời giải chi tiết:
A = 2(sin2​α + cos2​α)(sin4​α + cos4​α - sin2​αcos2​α) - 3(sin4​α + cos4​α)
= -sin4​α - cos4​α - 2sin2​αcos2​α
= -(sin2​α + cos2​α)2​ = -1
Cách khác:
A = 2(sin6​α + cos6​α) - 3(sin4​α + cos4​α)
=2[ (sin2​α + cos2​α)3​-3 sin2​α. Cos2​α(sin2​α + cos2​α)] -3[(sin2​α + cos2​α)2​-2sin2​α. Cos2​α]
=2[1-3 sin2​α. Cos2​α]-3[1-2sin2​α. Cos2​α]
=2-6 sin2​α. Cos2​α-3+6 sin2​α. Cos2​α
=-1

Câu b​

b) B = 4(sin4​α + sin4​α) - cos4α
Lời giải chi tiết:
b) A = 4[(sin2​α + cos2​α)2​ - 2sin2​αcos2​α] - cos4α
=4[1-2sin2​αcos2​α] - cos4α
=4-8 sin2​αcos2​α- cos4α
=4-2.(2sinα. Cosα)2​ – (1 - 2sin2​2α)
=4 – 2 sin2​2α - 1 + 2sin2​2α = 3

Câu c​

c) C = 8(cos8​α - sin8​α) - cos6α - 7cos2α
Lời giải chi tiết:
$C=8\left(\cos ^{4} \alpha-\sin ^{4} \alpha\right)\left(\cos ^{4} \alpha+\sin ^{4} \alpha\right)-\cos 6 \alpha-7 \cos 2 \alpha$
$=8\left(\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\right)\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)\left[\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)^{2}-2 \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha\right]-\cos 6 \alpha-7 \cos 2 \alpha$
$=8 \cos 2 \alpha\left(1-\frac{1}{2} \sin ^{2} 2 \alpha\right)-\cos 6 \alpha-7 \cos 2 \alpha$
$=\cos 2 \alpha-4 \cos 2 \alpha \sin ^{2} 2 \alpha-\cos (4 \alpha+2 \alpha)$
$=\cos 2 \alpha-2 \sin 4 \alpha \sin 2 \alpha-\cos 4 \alpha \cos 2 \alpha+\sin 4 \alpha \sin 2 \alpha$
$=\cos 2 \alpha-(\cos 4 \alpha \cos 2 \alpha+\sin 4 \alpha \sin 2 \alpha)$
$=\cos 2 \alpha-\cos 2 \alpha=0$