Google
Câu hỏi: Giải mục 2 trang 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ hình
Lời giải chi tiết:
a) b)
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ
Lời giải chi tiết:
b) So sánh hoành độ của điểm M với \(\cos 60^\circ \); tung độ của điểm M với \(\sin 60^\circ \)
Phương pháp giải:
Dựa vào cách xác định góc bên trên để xác định
Lời giải chi tiết:
a)
b) \(\cos 60^\circ \) bằng hoành độ của điểm M
\(\sin 60^\circ \) bằng tung độ của điểm M
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức đã học để tính
Lời giải chi tiết:
\(\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}; \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}; \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}; \cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - 2\)
Phương pháp giải:
Dựa vào sin, cos, tan, cot đã học ở lớp dưới để xác định
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\cos \left( { - 30^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\\\sin \left( { - 30^\circ } \right) = - \frac{1}{2} < 0\\\tan \left( { - 30^\circ } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} < 0\\\cot \left( { - 30^\circ } \right) = - \sqrt 3 < 0\end{array}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào bảng xét dấu sau:
Lời giải chi tiết:
Do \(\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi \) nên
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) > 0\\\tan \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\cot \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\end{array}\)
a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \) và 1
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha \) và 1 với \(\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0\)
c) \(1 + {\tan ^2}\alpha \) và \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha \ne 0\)
d) \(1 + {\cot ^2}\alpha \) và \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha \ne 0\)
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức của phần phía trên và kiến thức lớp 9 để so sánh
Lời giải chi tiết:
a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\)
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\)
c) \(\frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
d) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức lượng giác \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\)
Lời giải chi tiết:
Vì \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\) nên \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\)
Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\). Suy ra \(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào các kiến thức đã học để tính
Lời giải chi tiết:
\(\sin \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}; \cos \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}; \tan \left( {45^\circ } \right) = \frac{1}{2}; \cot \left( {45^\circ } \right) = 2\)
\(Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\)
Phương pháp giải:
Sử dựng bảng lượng giác của các góc đặc biệt
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\\ = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1 + 0 = \frac{7}{2}\end{array}\)
a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.
b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha v\`a - \alpha \)
Phương pháp giải:
Dựa vào hình vẽ ( hình 13)
Lời giải chi tiết:
a) Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau
Tung độ của điểm M và M’ đối nhau
b) Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha v\`a - \alpha \)
b) \(\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trong bảng:
Lời giải chi tiết:
a) \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{8}} \right) = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8} = 1\)
b)
\(\begin{array}{l}\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\tan {89^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\tan {88^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\cot {1^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\cot {2^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = 1\end{array}\)
a) \(\tan ( - {75^ \circ });\)b) \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng máy tính cầm tay
Lời giải chi tiết:
a) \(\tan ( - {75^ \circ }) = - 2 - \sqrt 3 \)
b) \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) \approx - 1,376\)
Hoạt động 6
a) Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và bán kính bằng 1b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ hình
Lời giải chi tiết:
a) b)
Luyện tập - Vận dụng 6
Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,ON} \right) = - \frac{\pi }{3}\)Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thực đã học về trục tọa độ và kiến thức học ở phần trên để xác vẽ
Lời giải chi tiết:
Hoạt động 7
a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = 60^\circ \)b) So sánh hoành độ của điểm M với \(\cos 60^\circ \); tung độ của điểm M với \(\sin 60^\circ \)
Phương pháp giải:
Dựa vào cách xác định góc bên trên để xác định
Lời giải chi tiết:
a)
b) \(\cos 60^\circ \) bằng hoành độ của điểm M
\(\sin 60^\circ \) bằng tung độ của điểm M
Luyện tập - Vận dụng 7
Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác \(\beta = - \frac{\pi }{4}\)Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức đã học để tính
Lời giải chi tiết:
\(\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}; \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}; \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}; \cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - 2\)
Hoạt động 8
Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha = - 30^\circ \)Phương pháp giải:
Dựa vào sin, cos, tan, cot đã học ở lớp dưới để xác định
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\cos \left( { - 30^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\\\sin \left( { - 30^\circ } \right) = - \frac{1}{2} < 0\\\tan \left( { - 30^\circ } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} < 0\\\cot \left( { - 30^\circ } \right) = - \sqrt 3 < 0\end{array}\)
Luyện tập - Vận dụng 8
Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha = \frac{{5\pi }}{6}\)Phương pháp giải:
Dựa vào bảng xét dấu sau:
Lời giải chi tiết:
Do \(\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi \) nên
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) > 0\\\tan \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\cot \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\end{array}\)
Hoạt động 9
Cho góc lượng giác \(\alpha \). So sánha) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \) và 1
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha \) và 1 với \(\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0\)
c) \(1 + {\tan ^2}\alpha \) và \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha \ne 0\)
d) \(1 + {\cot ^2}\alpha \) và \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha \ne 0\)
Phương pháp giải:
Dựa vào kiến thức của phần phía trên và kiến thức lớp 9 để so sánh
Lời giải chi tiết:
a) \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\)
b) \(\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\)
c) \(\frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1\)
d) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \)
Luyện tập - Vận dụng 9
Cho góc lượng giác \(\alpha \)sao cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) và \(\sin \alpha = - \frac{4}{5}\). Tìm \(\cos \alpha \)Phương pháp giải:
Sử dụng công thức lượng giác \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\)
Lời giải chi tiết:
Vì \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\) nên \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\)
Do \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\). Suy ra \(\cos \alpha = - \frac{3}{5}\)
Hoạt động 10
Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha = 45^\circ \)Phương pháp giải:
Dựa vào các kiến thức đã học để tính
Lời giải chi tiết:
\(\sin \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}; \cos \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}; \tan \left( {45^\circ } \right) = \frac{1}{2}; \cot \left( {45^\circ } \right) = 2\)
Luyện tập - Vận dụng 10
Tính giá trị của biểu thức:\(Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\)
Phương pháp giải:
Sử dựng bảng lượng giác của các góc đặc biệt
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\\ = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1 + 0 = \frac{7}{2}\end{array}\)
Hoạt động 11
Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác \(\left( {OA,OM} \right) = \alpha , \left( {OA,OM'} \right) = - \alpha \) (Hình 13)a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.
b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha v\`a - \alpha \)
Phương pháp giải:
Dựa vào hình vẽ ( hình 13)
Lời giải chi tiết:
a) Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau
Tung độ của điểm M và M’ đối nhau
b) Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác \(\alpha v\`a - \alpha \)
Luyện tập - Vận dụng 11
a) \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8}\)b) \(\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trong bảng:
Lời giải chi tiết:
a) \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{8}} \right) = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8} = 1\)
b)
\(\begin{array}{l}\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\tan {89^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\tan {88^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\cot {1^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\cot {2^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = 1\end{array}\)
Luyện tập - Vận dụng 12
Dùng máy tính cầm tay để tính ;a) \(\tan ( - {75^ \circ });\)b) \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right)\)
Phương pháp giải:
Sử dụng máy tính cầm tay
Lời giải chi tiết:
a) \(\tan ( - {75^ \circ }) = - 2 - \sqrt 3 \)
b) \(\cot \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) \approx - 1,376\)