Google
Câu hỏi: Cho \(x\) là một góc nhọn, biểu thức sau đây có giá trị âm hay dương? Vì sao?
a) \(sin x-1\)
b) \(1-\cos x\)
c) \(\sin x-\cos x\)
d) \(tgx-cotgx\)
a) \(sin x-1\)
b) \(1-\cos x\)
c) \(\sin x-\cos x\)
d) \(tgx-cotgx\)
Phương pháp giải
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì sin\(\alpha\) tăng.
Hay \(\alpha < \beta \) thì \(\sin \alpha < \sin \beta. \)
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì cos\(\alpha\) giảm.
Hay \(\alpha < \beta \) thì \(\cos \alpha > \cos \beta .\)
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì tg\(\alpha\) tăng.
Hay \(\alpha < \beta \) thì \(tg \alpha < tg \beta. \)
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì cotg\(\alpha\) giảm.
Hay \(\alpha < \beta \) thì \(cotg \alpha > cotg \beta .\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) với thì \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} < 1\), suy ra \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 1 < 0\)
b) Ta có: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) với thì \({\mathop{\rm cosx}\nolimits} < 1\), suy ra \(1 - \cos x > 0\)
c) Ta có:
* Nếu \(x = 45°\) thì \(sinx = cosx\), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x = 0\)
* Nếu \(x < 45°\) thì \(\cos x = \sin (90^\circ - x)\)
Vì \(x < 45°\) nên \(90^\circ - x > 45^\circ \) hay \(x<90^\circ - x \), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} < \sin (90^\circ - x)\)
Vậy \(\sin x<\cos x\) hay \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x < 0\)
* Nếu \(x > 45°\) thì \(\cos x = \sin (90^\circ - x)\)
Vì \(x > 45°\) nên \(90^\circ - x < 45^\circ \) hay \(x>90^\circ - x \), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} > \sin (90^\circ - x)\)
Vậy \(\sin x>\cos x\) hay \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx > 0}}\).
d) Ta có:
* Nếu \(x = 45°\) thì \(tgx = cotgx\), suy ra: \(tgx - cotgx = 0\)
* Nếu \(x < 45°\) thì \(\cot gx = tg(90^\circ - x)\)
Vì \(x < 45°\) nên \(90^\circ - x > 45^\circ \) hay \(x<90^\circ - x \), suy ra: \(tgx < tg(90^\circ - x)\)
Vậy \(tgx < cotgx \) hay \(tgx – cotgx < 0.\)
* Nếu \(x > 45°\) thì \(\cot gx = tg(90^\circ - x)\)
Vì \(x > 45°\) nên \(90^\circ - x < 45^\circ \) hay \(x>90^\circ - x \), suy ra: \(tgx > tg(90^\circ - x)\)
Vậy \(tgx > cotgx \) hay \(tgx – cotgx > 0.\)
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì sin\(\alpha\) tăng.
Hay \(\alpha < \beta \) thì \(\sin \alpha < \sin \beta. \)
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì cos\(\alpha\) giảm.
Hay \(\alpha < \beta \) thì \(\cos \alpha > \cos \beta .\)
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì tg\(\alpha\) tăng.
Hay \(\alpha < \beta \) thì \(tg \alpha < tg \beta. \)
Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì cotg\(\alpha\) giảm.
Hay \(\alpha < \beta \) thì \(cotg \alpha > cotg \beta .\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) với thì \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} < 1\), suy ra \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 1 < 0\)
b) Ta có: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) với thì \({\mathop{\rm cosx}\nolimits} < 1\), suy ra \(1 - \cos x > 0\)
c) Ta có:
* Nếu \(x = 45°\) thì \(sinx = cosx\), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x = 0\)
* Nếu \(x < 45°\) thì \(\cos x = \sin (90^\circ - x)\)
Vì \(x < 45°\) nên \(90^\circ - x > 45^\circ \) hay \(x<90^\circ - x \), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} < \sin (90^\circ - x)\)
Vậy \(\sin x<\cos x\) hay \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x < 0\)
* Nếu \(x > 45°\) thì \(\cos x = \sin (90^\circ - x)\)
Vì \(x > 45°\) nên \(90^\circ - x < 45^\circ \) hay \(x>90^\circ - x \), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} > \sin (90^\circ - x)\)
Vậy \(\sin x>\cos x\) hay \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx > 0}}\).
d) Ta có:
* Nếu \(x = 45°\) thì \(tgx = cotgx\), suy ra: \(tgx - cotgx = 0\)
* Nếu \(x < 45°\) thì \(\cot gx = tg(90^\circ - x)\)
Vì \(x < 45°\) nên \(90^\circ - x > 45^\circ \) hay \(x<90^\circ - x \), suy ra: \(tgx < tg(90^\circ - x)\)
Vậy \(tgx < cotgx \) hay \(tgx – cotgx < 0.\)
* Nếu \(x > 45°\) thì \(\cot gx = tg(90^\circ - x)\)
Vì \(x > 45°\) nên \(90^\circ - x < 45^\circ \) hay \(x>90^\circ - x \), suy ra: \(tgx > tg(90^\circ - x)\)
Vậy \(tgx > cotgx \) hay \(tgx – cotgx > 0.\)