Bài 4 trang 45 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

Câu a​

y = x2​ + 2x – 2 trên mỗi khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1, +∞)\)
Phương pháp giải:
Hàm số f đồng biến trêm K khi và chỉ khi
\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} > 0\)
Hàm số f nghịch biến trêm K khi và chỉ khi
\(\forall {x_1},{x_2} \in K\) và \({x_1} \ne {x_2}\) thì \(\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left({{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\)
Lời giải chi tiết:
+ Với mọi x1​; x2​ ∈ \((-∞; -1)\) và x1​ ≠ x2​ ta có:
f(x2​) – f(x1​) = x2​2​ + 2x2​ – 2 – (x1​2​ + 2x1​ – 2)
= x2​2​ – x1​2​ + 2(x2​ – x1​) = (x2​ – x1​)(x1​ + x2​ + 2)
\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\)
Vì x1​; x2​ ∈ \((-∞; -1)\) nên x1​ < -1 và x2​ < -1 nên x1 ​+ x2 ​+ 2 < 0
Nên \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} < 0\)
Vậy hàm số y = x2​ + 2x – 2 nghịch biến trên \((-∞; -1)\)
+ Với mọi x1​; x2​ ∈ \((-1, +∞)\) và x1​ ≠ x2​ ta có:
\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\)
(Vì x1​; x2​ ∈ \((-1;+∞)\) nên x1​ > -1; x2​ > -1)
Vậy hàm số y = x2​ + 2x – 2 đồng biến trên \((-1, +∞)\)
Bảng biến thiên:

Câu b​

\(y = -2x^2 + 4x + 1 \) trên mỗi khoảng \((-∞; 1)\) và \((1, +∞)\)
Lời giải chi tiết:
+ Với mọi x1​; x2​ ∈ \((-∞; 1)\) và x1​ ≠ x2​ ta có:
f(x2​) – f(x1​) = (-2x2​2​ + 4x2​ + 1) – (-2x1​2​ + 4x1​ + 1)
= -2(x2​2​ - x1​2​) + 4(x2​ - x1​)
\(= - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left({{x_2} + {x_1}} \right) + 4\left({{x_2} - {x_1}} \right)\)
\(= 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left({ - {x_2} - {x_1} + 2} \right)\)
\(= {\rm{ }}2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left[ {2 - \left({{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)
\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \) \(=2\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\)
Vì x1​ < 1 và x2​ < 1 nên \({x_1} + {x_2} < 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) > 0\)
Vậy hàm số \(y = -2x + 4x + 1\) đồng biến trên khoảng \((-∞; 1)\)
+ Với mọi x1​; x2​ ∈ \((1; +∞)\) thì x1​ > 1 và x2​ > 1 và x1​ ≠ x2​ ta có:
\({x_1} + {x_2} > 2 \Rightarrow 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) < 0\)
Do đó \({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} \)\(=2\left[ {2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right]\) < 0
Vậy hàm số \(y = -2x + 4x + 1\) nghịch biến trên khoảng \((1; +∞)\)
Bảng biến thiên:

Câu c​

\(y = {2 \over {x - 3}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3, +∞)\)
Lời giải chi tiết:
+ Với x1​, x2​ ∈ \((- ∞; 3)\) với x1​ ≠ x2​ ta có:
\(\eqalign{
& f({x_2}) - f({x_1}) = {2 \over {{x_2} - 3}} - {2 \over {{x_1} - 3}} \cr
& = {{2({x_1} - 3) - 2({x_2} - 3)} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr&= {{2({x_1} - {x_2})} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr
& \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr} \)
(vì x1​ < 3; x2​ < 3 nên (x1​ – 3)(x2​ – 3) > 0)
\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}}<0\)
Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((- ∞; 3)\)
+ Với x1​, x2​ ∈ \((3; +∞)\) với x1​ ≠ x2​ ta có:
\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} < 0\)
(vì x1​ > 3; x2​ > 3 nên (x1​ – 3)(x2​ – 3) > 0)
Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((3; + ∞)\)
Bảng biến thiên: