Bài 12 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

Câu a​

\(y = {1 \over {x - 2}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 2)\) và \((2; +∞)\)
Lời giải chi tiết:
\(f(x) = {1 \over {x - 2}}\)
+ Với x1​; x2​ ∈ \((-∞; 2)\) và x1​ ≠ x2​; ta có:
\(f({x_2}) - f({x_1}) = {1 \over {{x_2} - 2}} - {1 \over {{x_1} - 2}} \)\(= {{{x_1} - 2 - {x_2} + 2} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\)
\(= {{{x_1} - {x_2}} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\)
\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\)
(vì \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty; 2} \right) \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - 2 < 0\\
{x_2} - 2 < 0
\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left({{x_2} - 2} \right) > 0\))
Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\) nghịch biến trên \((-∞; 2)\)
+ Với x1​; x2​ ∈ \((2; +∞)\) và x1​ ≠ x2​; ta có:
\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\)
Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\)  nghịch biến trên \((2; +∞)\)
Bảng biến thiên

Câu b​

y = x2​ – 6x + 5 trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3; +∞)\)
Lời giải chi tiết:
f(x) = x2​ – 6x + 5
+ Với x1​; x2​ ∈ \((-∞; 3)\)  và x1​ ≠ x2​; ta có:
f(x2​) – f(x1​) = x2​2​ – 6x2​ + 5 – (x1​2​ – 6x1​ + 5)
= x2​2​ - x1​2​ + 6(x1​ – x2​) = (x2​ – x1​)(x1​  + x2​ – 6)
\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 < 0\)  (vì x1​ < 3; x2​ < 3)
Vậy hàm số y = x2​ – 6x + 5 nghịch biến trên \((-∞, 3)\)
+ Với x1​; x2​ ∈ \((3, +∞)\) và x1​ ≠ x2​; ta có:
\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 > 0\) (vì x1​ > 3; x2​ > 3)
Vậy hàm số y = x2​ – 6x + 5 đồng biến trên \((3;+∞)\)
Bảng biến thiên

Câu c​

y = x2005​ + 1 trên khoảng \((-∞; +∞)\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi x1​, x2​ ∈ \((-∞; +∞)\) , ta có x1​ < x2​
\(\Rightarrow\) x1​2005​ < x2​2005​
\(\Rightarrow\)  x1​2005​ + 1 < x2​2005​ + 1
hay f(x1​) < f(x2​) (y = f(x) = x2005​ + 1).
Từ đấy ta có, hàm số đã cho đồng biến trên \((-∞; +∞)\)