Google
Câu hỏi: Cho tam giác nhọn \(MNP.\) Gọi \(D\) là chân đường cao của tam giác đó kẻ từ \(M.\) Chứng minh rằng:
a) \({S_{MNP}} = \dfrac{1}{2}MP.NP.\sin P;\)
b) \(DP = \dfrac{MN.sinN}{tan P};\)
c) \(∆DNE\) \(\backsim\) \(∆MNP,\) trong đó \(E\) là chân đường cao của tam giác \(MNP\) kẻ từ \(P.\)
a) \({S_{MNP}} = \dfrac{1}{2}MP.NP.\sin P;\)
b) \(DP = \dfrac{MN.sinN}{tan P};\)
c) \(∆DNE\) \(\backsim\) \(∆MNP,\) trong đó \(E\) là chân đường cao của tam giác \(MNP\) kẻ từ \(P.\)
Phương pháp giải
Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=c, AC=b, BC=a\) thì:
\(b=a.sin B=a.cos C\)
\(b=c.tan B=c.cot C\)
\(c=a.sin C=a.cos B\)
\(c=b.tan C=b.cot B\)
Xét các trường hợp hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác MDP vuông tại D, ta có: \(MD = MP.sin P,\) suy ra:
\({S_{MNP}} = \dfrac{1}{2}NP.MD \) \(= \dfrac{1}{2}NP.MP\sin P.\)
b) Xét tam giác MDN vuông tại D, ta có: \(MD = MN.sin N\)
Xét tam giác MDP vuông tại D, ta có: \(MD = DP.tan P\)
Suy ra \(DP=\dfrac{{MD}}{{\tan P}}=\dfrac{MN.sin N}{tan P}\)
c) Xét \(\Delta DMN\) và \(\Delta EPN\) có:
\(\widehat D = \widehat E ( = 9{0^0})\)
\(\widehat N\) chung
Vậy \(\Delta DMN\) \(\backsim\) \(\Delta EPN\) (g-g)
\( \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{MN}} = \dfrac{{EN}}{{PN}}\)
Xét \(\Delta DNE\) và \(\Delta MNP\) có:
\(\widehat N\) chung
\(\dfrac{{DN}}{{MN}} = \dfrac{{EN}}{{PN}}\)
Vậy \(\Delta DNE\) \(\backsim\) \(\Delta MNP\) (c-g-c).
Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=c, AC=b, BC=a\) thì:
\(b=a.sin B=a.cos C\)
\(b=c.tan B=c.cot C\)
\(c=a.sin C=a.cos B\)
\(c=b.tan C=b.cot B\)
Xét các trường hợp hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác MDP vuông tại D, ta có: \(MD = MP.sin P,\) suy ra:
\({S_{MNP}} = \dfrac{1}{2}NP.MD \) \(= \dfrac{1}{2}NP.MP\sin P.\)
b) Xét tam giác MDN vuông tại D, ta có: \(MD = MN.sin N\)
Xét tam giác MDP vuông tại D, ta có: \(MD = DP.tan P\)
Suy ra \(DP=\dfrac{{MD}}{{\tan P}}=\dfrac{MN.sin N}{tan P}\)
c) Xét \(\Delta DMN\) và \(\Delta EPN\) có:
\(\widehat D = \widehat E ( = 9{0^0})\)
\(\widehat N\) chung
Vậy \(\Delta DMN\) \(\backsim\) \(\Delta EPN\) (g-g)
\( \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{MN}} = \dfrac{{EN}}{{PN}}\)
Xét \(\Delta DNE\) và \(\Delta MNP\) có:
\(\widehat N\) chung
\(\dfrac{{DN}}{{MN}} = \dfrac{{EN}}{{PN}}\)
Vậy \(\Delta DNE\) \(\backsim\) \(\Delta MNP\) (c-g-c).