Google
Câu hỏi: Hãy tìm diện tích của tam giác cân có góc ở đáy bằng \(α\) nếu biết:
a) Cạnh bên bằng \(b ;\)
b) Cạnh đáy bằng \(a.\)
a) Cạnh bên bằng \(b ;\)
b) Cạnh đáy bằng \(a.\)
Phương pháp giải
Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=c, AC=b, BC=a\) thì:
\(b=a.sin B=a.cos C\)
\(b=c.tan B=c.cot C\)
\(c=a.sin C=a.cos B\)
\(c=b.tan C=b.cot B\)
Lời giải chi tiết
Xét tam giác cân \(ABC\) có \(AB = AC,\) \(\widehat {ABC} = \alpha, \) đường cao \(AH\)
a) \(AB = AC = b\)
Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:
\(AH =AB.\sinα= b.\sinα,\) \( BH =AB.\cos α= b.cosα\) nên diện tích tam giác \(ABC\) là
\(\eqalign{
& S = {1 \over 2}AH.BC = AH.BH \cr
& = {b^2}\sin \alpha \cos \alpha . \cr} \)
b) \(BC = a\)
Vì AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến. Suy ra \(BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: \(AH =BH.\tan \alpha = \eqalign{a \over 2}tan\alpha \)
nên diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \eqalign{1 \over 2}.BC.AH\)\(=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}\tan \alpha = \eqalign{{{a^2}} \over 4}tan\alpha \).
Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=c, AC=b, BC=a\) thì:
\(b=a.sin B=a.cos C\)
\(b=c.tan B=c.cot C\)
\(c=a.sin C=a.cos B\)
\(c=b.tan C=b.cot B\)
Lời giải chi tiết
Xét tam giác cân \(ABC\) có \(AB = AC,\) \(\widehat {ABC} = \alpha, \) đường cao \(AH\)
a) \(AB = AC = b\)
Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:
\(AH =AB.\sinα= b.\sinα,\) \( BH =AB.\cos α= b.cosα\) nên diện tích tam giác \(ABC\) là
\(\eqalign{
& S = {1 \over 2}AH.BC = AH.BH \cr
& = {b^2}\sin \alpha \cos \alpha . \cr} \)
b) \(BC = a\)
Vì AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến. Suy ra \(BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: \(AH =BH.\tan \alpha = \eqalign{a \over 2}tan\alpha \)
nên diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \eqalign{1 \over 2}.BC.AH\)\(=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}\tan \alpha = \eqalign{{{a^2}} \over 4}tan\alpha \).