Bài 34 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Gọi (P) là đồ thị hàm số tại y = ax2​ + bx + c. Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt số Δ trong mỗi trường hợp sau:

Câu a​

(P) nằm hoàn toàn ở phía trên trục hoành
Phương pháp giải:
Nhận xét dựa vào bề lõm và đỉnh của parabol.
Lời giải chi tiết:

(P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành thì bề lõm hướng lên và đỉnh \(I( - {b \over {2a}};-{\Delta  \over {4a}})\) nằm phía trên trục hoành nên
\(\left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
- \frac{\Delta }{{4a}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\)
Cách khác:
(P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành thì:
+) Bề lõm hướng lên nên \(a > 0\)
+) (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nghĩa là \(\left( P \right) \cap Ox = \emptyset \) hay phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta  < 0\)
Vậy \(a > 0,\Delta  < 0\)

Câu b​

(P) nằm hoàn toàn ở phía dưới trục hoành
Lời giải chi tiết:

(P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì:
+) bề lõm hướng xuống nên \(a < 0\).
+) đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) nằm phía dưới trục hoành nên \(- \frac{\Delta }{{4a}} < 0 \Leftrightarrow \frac{\Delta }{{4a}} > 0 \Leftrightarrow \Delta  < 0\)
(vì \(a < 0\))
Vậy (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì a < 0 và Δ < 0.

Câu c​

(P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành
Lời giải chi tiết:

(P) phải có hình dạng ở hình vẽ trên, do đó phương trình ax2​ + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0
Đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành nên
\(- \frac{\Delta }{{4a}} > 0 \Leftrightarrow \frac{\Delta }{{4a}} < 0\)
Do đó \(\Delta\) và a trái dấu nên a < 0 (do Δ > 0)
Vậy (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành thì a < 0 và Δ > 0.