Google
Câu hỏi: Hãy tính thể tích của khối hộp nếu biết độ dài cạnh bên bằng a, diện tích hai mặt chéo lần lượt là \({S_1},{S_2}\) và góc giữa hai mặt chéo bằng \(\alpha \).
Lời giải chi tiết
Giả sử hình hộp đã cho là \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).
Gọi \({\rm{O}}{{\rm{O}}_1}\) là giao tuyến của hai mặt chéo.
Trong hai mặt chéo \(\left( {{A_1}{C_1}CA} \right)\) và \(\left( {{B_1}{D_1}DB} \right)\), qua điểm \(I \in O{O_1}\), ta lần lượt kẻ hai đường thẳng KE và MH đều vuông góc với \(O{O_1}\).
Khi đó \(\alpha = \left( {MH, KE} \right)\) và MEHK là thiết diện thẳng khối hộp.
Đặt \(KE = x, MH = y\) thì \({S_{MEHK}} = {1 \over 2}xy\sin \alpha .\)
Áp dụng kết quả bài tập 30, ta có:
Vhộp = \({S_{MKHE}}. A{A_1} = {1 \over 2}xya\sin \alpha .\)
Nhưng \(xa = {S_1}, ya = {S_2}\) suy ra \(x = {{{S_1}} \over a}, y = {{{S_2}} \over a} \)
\(\Rightarrow xy = {{{S_1}{S_2}} \over {{a^2}}}.\)
Vậy Vhộp\(= {{{S_1}{S_2}\sin \alpha } \over {2a}}.\)
Giả sử hình hộp đã cho là \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).
Gọi \({\rm{O}}{{\rm{O}}_1}\) là giao tuyến của hai mặt chéo.
Trong hai mặt chéo \(\left( {{A_1}{C_1}CA} \right)\) và \(\left( {{B_1}{D_1}DB} \right)\), qua điểm \(I \in O{O_1}\), ta lần lượt kẻ hai đường thẳng KE và MH đều vuông góc với \(O{O_1}\).
Khi đó \(\alpha = \left( {MH, KE} \right)\) và MEHK là thiết diện thẳng khối hộp.
Đặt \(KE = x, MH = y\) thì \({S_{MEHK}} = {1 \over 2}xy\sin \alpha .\)
Áp dụng kết quả bài tập 30, ta có:
Vhộp = \({S_{MKHE}}. A{A_1} = {1 \over 2}xya\sin \alpha .\)
Nhưng \(xa = {S_1}, ya = {S_2}\) suy ra \(x = {{{S_1}} \over a}, y = {{{S_2}} \over a} \)
\(\Rightarrow xy = {{{S_1}{S_2}} \over {{a^2}}}.\)
Vậy Vhộp\(= {{{S_1}{S_2}\sin \alpha } \over {2a}}.\)