Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng
\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB. CD. D.\sin \alpha .\)
\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB. CD. D.\sin \alpha .\)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Dựng hình hộp AEBF. MDNC (gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD).
Vì \(\left( {AEBF} \right)//\left({MDNC} \right)\) nên chiều cao của hình hộp bằng khoảng cách d giữa AB và CD.
Theo bài 37 ta có :
\({V_{ABCD}} = {1 \over 3}\) Vhộp
\(\eqalign{ & = {1 \over 3}{S_{MDNC}}. D \cr & = {1 \over 3}.{1 \over 2}MN. CD\sin \alpha. D = {1 \over 6}AB. CD. D\sin \alpha . \cr} \)
Cách 2.
Dựng hình bình hành ABCE. Khi đó :
\({V_{A. BCD}} = {V_{E. BCD}}\) (do \(AE//\left( {BCD} \right)\)) (1)
\(\eqalign{ & {V_{E. BCD}} = {V_{B. ECD}} (2) \cr & {V_{B. ECD}} = {1 \over 3}{S_{ECD}}. D\left({B,\left( {CDE} \right)} \right) (3) \cr & \cr} \)
\({S_{ECD}} = {1 \over 2}CE. CD.\sin \widehat {ECD}\)
\(= {1 \over 2}AB. CD\sin \alpha (4) \)
\(d\left( {B,\left( {CDE} \right)} \right) = d\left({AB, CD} \right)(\) do \(AB//\left( {CDE} \right)) (5)\)
Từ (1), (2), (3), (4), (5) suy ra :
\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB. CD. D\sin \alpha .\)
Cách 1:
Dựng hình hộp AEBF. MDNC (gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD).
Vì \(\left( {AEBF} \right)//\left({MDNC} \right)\) nên chiều cao của hình hộp bằng khoảng cách d giữa AB và CD.
Theo bài 37 ta có :
\({V_{ABCD}} = {1 \over 3}\) Vhộp
\(\eqalign{ & = {1 \over 3}{S_{MDNC}}. D \cr & = {1 \over 3}.{1 \over 2}MN. CD\sin \alpha. D = {1 \over 6}AB. CD. D\sin \alpha . \cr} \)
Cách 2.
Dựng hình bình hành ABCE. Khi đó :
\({V_{A. BCD}} = {V_{E. BCD}}\) (do \(AE//\left( {BCD} \right)\)) (1)
\(\eqalign{ & {V_{E. BCD}} = {V_{B. ECD}} (2) \cr & {V_{B. ECD}} = {1 \over 3}{S_{ECD}}. D\left({B,\left( {CDE} \right)} \right) (3) \cr & \cr} \)
\({S_{ECD}} = {1 \over 2}CE. CD.\sin \widehat {ECD}\)
\(= {1 \over 2}AB. CD\sin \alpha (4) \)
\(d\left( {B,\left( {CDE} \right)} \right) = d\left({AB, CD} \right)(\) do \(AB//\left( {CDE} \right)) (5)\)
Từ (1), (2), (3), (4), (5) suy ra :
\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB. CD. D\sin \alpha .\)