Google
Câu hỏi: Khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và \(SA \bot \left( {ABC} \right), SC = a.\) Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) để thể tích khối chóp là lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Ta có \(BC \bot AC\) nên \(BC \bot SC\) (định lý ba đường vuông góc), suy ra góc \(SCA\) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Đặt \(\widehat {SCA} = x\left( {0 < x < {\pi \over 2}} \right)\)
Khi đó :
\(\eqalign{ & SA = a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}, AC = acosx. \cr & {V_{S. ABC}} = {{a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over 3}.{{{a^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \over 2} = {{{a^3}} \over 6}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}x}. Co{s^2}x. \cr} \)
Xét hàm số \(y\left( x \right) = \sin {\rm{x}}{\cos ^2}x.\)
Ta có :
\(\eqalign{ y'\left( x \right) &= co{s^3}x - 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} . S{\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x }}\cr&= \cos x\left({co{s^2}x - 2 + 2co{s^2}x} \right) \cr & = cosx\left({3{{\cos }^2}x - 2} \right) \cr&= 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \left({{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - \sqrt {{2 \over 3}} } \right)\left({\cos x + \sqrt {{2 \over 3}} } \right). \cr} \)
Vì \(0 < x < {\pi \over 2}\) nên \(\cos x\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + \sqrt {{2 \over 3}} } \right) > 0.\)
Gọi \(\alpha \) là góc sao cho \(\cos \alpha = \sqrt {{2 \over 3}} , 0 < \alpha < {\pi \over 2}.\)
Ta có bảng biến thiên của hàm \(y\left( x \right) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.{\cos ^2}x:\)
Vậy VS. ABC đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \alpha \) với \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) và \(\cos \alpha = \sqrt {{2 \over 3}} .\)
Ta có \(BC \bot AC\) nên \(BC \bot SC\) (định lý ba đường vuông góc), suy ra góc \(SCA\) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Đặt \(\widehat {SCA} = x\left( {0 < x < {\pi \over 2}} \right)\)
Khi đó :
\(\eqalign{ & SA = a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}, AC = acosx. \cr & {V_{S. ABC}} = {{a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over 3}.{{{a^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \over 2} = {{{a^3}} \over 6}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}x}. Co{s^2}x. \cr} \)
Xét hàm số \(y\left( x \right) = \sin {\rm{x}}{\cos ^2}x.\)
Ta có :
\(\eqalign{ y'\left( x \right) &= co{s^3}x - 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} . S{\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x }}\cr&= \cos x\left({co{s^2}x - 2 + 2co{s^2}x} \right) \cr & = cosx\left({3{{\cos }^2}x - 2} \right) \cr&= 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \left({{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - \sqrt {{2 \over 3}} } \right)\left({\cos x + \sqrt {{2 \over 3}} } \right). \cr} \)
Vì \(0 < x < {\pi \over 2}\) nên \(\cos x\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + \sqrt {{2 \over 3}} } \right) > 0.\)
Gọi \(\alpha \) là góc sao cho \(\cos \alpha = \sqrt {{2 \over 3}} , 0 < \alpha < {\pi \over 2}.\)
Ta có bảng biến thiên của hàm \(y\left( x \right) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.{\cos ^2}x:\)
Vậy VS. ABC đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \alpha \) với \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) và \(\cos \alpha = \sqrt {{2 \over 3}} .\)