Google
Câu hỏi: Cho khối hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, góc \(\widehat {{A_1}AB} = \widehat {BAD} = \widehat {{A_1}AD}= \alpha\) \(\left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right).\) Hãy tính thể tích của khối hộp.
Lời giải chi tiết
Hạ \({A_1}H \bot AC(H \in AC)\left( * \right).\)
Tam giác A1BD cân (do \({A_1}B = {A_1}D)\) suy ra \(BD \bot {A_1}O\). Mặt khác
\(\eqalign{ & BD \bot AC \cr & \Rightarrow BD \bot \left( {{A_1}AO} \right) \Rightarrow BD \bot {A_1}H\left({ * * } \right). \cr} \)
Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( { * * } \right) \Rightarrow {A_1}H \bot \left({ABCD} \right).\)
Đặt \(\widehat {{A_1}AO} = \varphi .\) Ta có hệ thức :
\(\cos \alpha = cos\varphi. Cos{\alpha \over 2}\)
Thật vậy, hạ \({A_1}K \bot AD \Rightarrow HK \bot AK\) (định lý ba đường vuông góc)
\(\Rightarrow \cos \varphi. Cos{\alpha \over 2} = {{AH} \over {A{A_1}}}.{{AK} \over {AH}} = {{AK} \over {A{A_1}}} = \cos \alpha .\)
Từ đẳng thức trên ta suy ra : \(cos\varphi = {{cos\alpha } \over {cos{\alpha \over 2}}}.\)
Do đó
\({A_1}H = a.\sin \varphi = a\sqrt {1 - {{{{\cos }^2}_\alpha } \over {co{s^2}{\alpha \over 2}}}} \)
\(= {a \over {cos{\alpha \over 2}}}\sqrt {{{\cos }^2}_{{\alpha \over 2}} - co{s^2}_\alpha } .\)
\(\eqalign{ & {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB. AD.\sin \alpha .{A_1}H \cr&= {a^2}.\sin a.{a \over {cos{\alpha \over 2}}}\sqrt {co{s^2}{\alpha \over 2} - co{s^2}\alpha } \cr & = 2{a^3}\sin {\alpha \over 2}\sqrt {co{s^2}{\alpha \over 2} - co{s^2}\alpha } . \cr} \)
Hạ \({A_1}H \bot AC(H \in AC)\left( * \right).\)
Tam giác A1BD cân (do \({A_1}B = {A_1}D)\) suy ra \(BD \bot {A_1}O\). Mặt khác
\(\eqalign{ & BD \bot AC \cr & \Rightarrow BD \bot \left( {{A_1}AO} \right) \Rightarrow BD \bot {A_1}H\left({ * * } \right). \cr} \)
Từ \(\left( * \right)\) và \(\left( { * * } \right) \Rightarrow {A_1}H \bot \left({ABCD} \right).\)
Đặt \(\widehat {{A_1}AO} = \varphi .\) Ta có hệ thức :
\(\cos \alpha = cos\varphi. Cos{\alpha \over 2}\)
Thật vậy, hạ \({A_1}K \bot AD \Rightarrow HK \bot AK\) (định lý ba đường vuông góc)
\(\Rightarrow \cos \varphi. Cos{\alpha \over 2} = {{AH} \over {A{A_1}}}.{{AK} \over {AH}} = {{AK} \over {A{A_1}}} = \cos \alpha .\)
Từ đẳng thức trên ta suy ra : \(cos\varphi = {{cos\alpha } \over {cos{\alpha \over 2}}}.\)
Do đó
\({A_1}H = a.\sin \varphi = a\sqrt {1 - {{{{\cos }^2}_\alpha } \over {co{s^2}{\alpha \over 2}}}} \)
\(= {a \over {cos{\alpha \over 2}}}\sqrt {{{\cos }^2}_{{\alpha \over 2}} - co{s^2}_\alpha } .\)
\(\eqalign{ & {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB. AD.\sin \alpha .{A_1}H \cr&= {a^2}.\sin a.{a \over {cos{\alpha \over 2}}}\sqrt {co{s^2}{\alpha \over 2} - co{s^2}\alpha } \cr & = 2{a^3}\sin {\alpha \over 2}\sqrt {co{s^2}{\alpha \over 2} - co{s^2}\alpha } . \cr} \)