Google
Câu hỏi: Khối chóp \(S. ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc \(\alpha \) và tạo với mặt \(\left( {SAD} \right)\) góc \(\beta \). Tính thể tích khối chóp.
Lời giải chi tiết
AB là hình chiếu của SB trên \(mp\left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {SBA} = \alpha \)
Dễ thấy \(BD \bot \left( {SAD} \right)\) nên hình chiếu của SB trên \(mp\left( {SAD} \right)\) là SD \(\Rightarrow \) \(\widehat {BSD} = \beta \)
Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có \(SB = {{BD} \over {\sin \beta }}, SB = {{AB} \over {\cos \alpha }},\) suy ra
\(\eqalign{ &{{A{B^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{B{D^2}} \over {{{\sin }^2}\beta }} = {{A{B^2} - B{D^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }} \cr&= {{{a^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }} \cr & \Rightarrow BD = {{a\sin \beta } \over {\sqrt {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr} \)
\(\eqalign{ & SD = BD\cot \beta = {{a\cos \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr & SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}} = {{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}. \cr & \cr} \)
Vậy :
\(\eqalign{ & {V_{S. ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}. SA \cr & = {1 \over 3}. A.{{a\sin \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}.{{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }} \cr & = {{{a^3}\sin \alpha .\sin \beta } \over {3\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } \right)}}. \cr} \)
AB là hình chiếu của SB trên \(mp\left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {SBA} = \alpha \)
Dễ thấy \(BD \bot \left( {SAD} \right)\) nên hình chiếu của SB trên \(mp\left( {SAD} \right)\) là SD \(\Rightarrow \) \(\widehat {BSD} = \beta \)
Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có \(SB = {{BD} \over {\sin \beta }}, SB = {{AB} \over {\cos \alpha }},\) suy ra
\(\eqalign{ &{{A{B^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{B{D^2}} \over {{{\sin }^2}\beta }} = {{A{B^2} - B{D^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }} \cr&= {{{a^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta }} \cr & \Rightarrow BD = {{a\sin \beta } \over {\sqrt {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr} \)
\(\eqalign{ & SD = BD\cot \beta = {{a\cos \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr & SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}} = {{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}. \cr & \cr} \)
Vậy :
\(\eqalign{ & {V_{S. ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}. SA \cr & = {1 \over 3}. A.{{a\sin \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }}.{{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } }} \cr & = {{{a^3}\sin \alpha .\sin \beta } \over {3\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\beta } \right)}}. \cr} \)