Google
Câu hỏi: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, hãy chọn dãy số giảm
(A) \({u_n} = \sin n\) ;
(B) \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 1}}{n}\) ;
(C) \({u_n} = \sqrt n - \sqrt {n - 1} \) ;
(D) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left({{2^n} + 1} \right).\)
(A) \({u_n} = \sin n\) ;
(B) \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 1}}{n}\) ;
(C) \({u_n} = \sqrt n - \sqrt {n - 1} \) ;
(D) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left({{2^n} + 1} \right).\)
Phương pháp giải
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải chi tiết
Xét đáp án C ta có:
\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) \(= \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\sqrt n - \sqrt {n - 1} }}\) \(= \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}.\dfrac{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}{1}\) \(= \dfrac{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} < 1\) vì \(\sqrt {n - 1} < \sqrt {n + 1} \)
Do đó \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) hay dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải chi tiết
Xét đáp án C ta có:
\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) \(= \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\sqrt n - \sqrt {n - 1} }}\) \(= \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}.\dfrac{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}{1}\) \(= \dfrac{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} < 1\) vì \(\sqrt {n - 1} < \sqrt {n + 1} \)
Do đó \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) hay dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.